Soit E l'ensemble des fonctions polynome sur R de degré inférieur ou egal a 2. On désigne par Bo la base canonique(E0,E1,E2)=(1,X,X²) de E et Bo*=(E0*,E1*,E2*) sa base duale
1) on note d l'endomorphisme de E qui à tout polynome P associe son polinome dérivee P'.
i) Déterminer la matrice de D relativement à la base Bo
D= ( 0 1 0
0 0 2
0 0 0 )
ii) transposé de D= ( 0 0 0
1 0 0
0 2 0)
2) On considère l'application Pi0 définie sur E par pour tout P appartenant a E Pi0(P)=P(1)
i) Montrer que Pi0 est une forme linéaire
Pi0(p+Lq)=(p+lq)(1)=p(1)+lq(1)=Pi0(p)+lpi0(q)
ii) déterminer les coordonnées de Pi0 dans la base Bo*
Pi0 = E0* +E1* +E2*
3)On pose Pi1=Pi0 o D et Pi2=Pi0 o D² (o correspond à la composée)
i) exprimer pi1 et pi2 en fonction de pi0 et transposée de D
Pi1=tD(Pi0) tD(transposé de D)
Pi2=tD²(Pi0)
ii) en déduire les coordonée de Pi1 et Pi2 dans la base Bo*
Pi1= E1* +2E2*
Pi2= 2 E2*
iii) montrer que (Pi0,Pi1,Pi2) est une base de E*
R=Mat bo* (Pi0,Pi1,Pi2) = ( 1 0 0
1 1 0
1 2 2)
c'est inversible ddonc c'est une base.
4) déterminer la base (P0,P1,P2) de E dont (Pi0,Pi1,Pi2) est la base duale.
R^(-1)= ( 1 -1 1/2
0 1 -1
0 0 1/2)
5)Pour P et Q dans E, on pose
a) Donner une expression de
b)En déduire que (P,Q)|-->
c) Soit q la forme quadratique associée. Exprimer q(P) en utilisant Pi0, Pi1 et Pi2.
d) En déduire que (P,Q)|-->
e) Montrer que (P0,P1,P2) est une base orthonormale de ce produit scalaire.
6) On note H le sous espace vectoriel engendré par X et X²
a) Calculer
b) Déterminer une base orthogonale (Q1,Q2) de H
c) Déterminer la projection orthogonale de E0 sur H
Donc voila j'ai fait jusqu'à 4) je sais que j'ai bon mais après ça se complique donc si vous pouviez m'aider. Merci