Exercice nombre complexe et transformation

[Rintrah L.]

Bonjour,

J'avoue que je n'ai pas l'habitude de demander de l'aide, mais je bloque sur un exercice d'un DM sur les nombres complexes. L'énoncé :

Exercice 4 : Transformation

A tout point M d'affixe z (z=/=i) on associe le point M' d'affixe .
On note J le point d'affixe i.

Conjecturer avec Géoplan les réponses aux questions suivantes puis les démontrer :

1°) Quels sont les points invariants ?

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Ici pas de problème : je trouve deux points invariants en résolvant une équation du seconde degré dans :


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2°) Quel est le lieu géométrique de M' quand M décrit le cercle de centre J(i) et de rayon R (R est un réal positif) ?

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Là non plus pas de problème, je trouve :

avec (réel) tel que : car M(z) appartient au cercle de centre J(i) et de rayon R.

On en déduit que M'(z') appartient à un cercle de rayon 1/R et de centre O(0).
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3°) Sur quel lieu géométrique se déplace M' quand M décrit un cercle de centre O et de rayon R. Discuter selon les valeurs de R.

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C'est à partir d'ici que je n'arrive pas à répondre. D'après ce que je constate sur Géoplan, on devrait obtenir un cercle pour le lieu géométrique de M'. Pour R fixé, le centre K(k) ne bouge pas lorsque l'angle polaire de M(z) varie, et il est situé sur l'axe des imaginaires. Pour fixe, K(k) se déplace sur l'axe des imaginaires lorsque R varie. Donc, normalement :

tel que ; \lambda(R) dépend de R et semble vérifier les limites suivantes :

; ; ;

Si M'(z') appartient bien à une cercle de centre K(k) : tels que avec A(R) le rayon du cercle auquel appartient M', qui dépend de R, et l'angle qui dépend de .

Le problème c'est que je n'arrive pas du tout à me ramener à quelque chose de similaire par calcul à partir de la relation initiale. J'ai essayer en posant , puis avec a et b réels vérifiant , mais rien n'y fait, je n'arrive jamais à retrouver, pour R fixé, quelque chose s'apparentant à l'équation paramétrique d'un cercle (dont je ne connais même pas le centre).

Bref je galère, alors que je suis sûr que la solution n'est pas si compliquée - du moins à la portée d'un élève de TS.

Merci de votre aide, et à bientôt.

[Sa Majesté]

Salut
1) OK sauf que c'est et

2) OK

3) Avec Geoplan tu as dû conjecturer que c'est un cercle sauf pour R=1 où c'est une droite

[laya]

Puisque tu t'es vraiment donné la peine de poster tes réponses (assez rare sur le net), on a envie de répondre à ta question.

Si M parcourt le cercle de centre O et de rayon R alors , l'astuce ici est d'écrire plutôt z en fonction de z' (en faisant attention au fait que z est différent de i, il y aura une discussion sur la valeur du rayon....)
Donc : , ,
Il vient que, dans le cas général (je te laisse discuter les cas):
et donc
Si alors tu auras à considérer deux barycentres de J et O....

[Rintrah L.]

Merci de vos deux réponses.

Effectivement, je ne suis pas capable de calculer correctement des formes exponentielles .

En fait je n'étais pas sur la bonne voie ; mais avec cette technique j'arrive à quelque chose qui me semble cohérent (qui vérifie les limites conjecturées en tous cas) - mais je ne suis pas passé par le barycentre cependant, car je n'ai pas utilisé cet outil depuis à peu près un an, donc je n'aurais probablement pas été performant. J'ai juste calculer les distances trouvées en fonctions des coordonnées de M'(x' ; y').

J'obtiens bien l'équation d'un cercle :

De centre K(k) avec , et de rayon

Ne vous embêtez pas trop à vérifier les calculs, que je referai de toutes façons. Je voulais surtout vous remercier aussi promptement que vous avez réagi. Encore merci, car me voilà rassuré : je pourrai finir ce DM !

Tschüss

[Sa Majesté]

J'obtiens bien l'équation d'un cercle :

De centre K(k) avec , et de rayon

Ne vous embêtez pas trop à vérifier les calculs, que je referai de toutes façons. Je voulais surtout vous remercier aussi promptement que vous avez réagi. Encore merci, car me voilà rassuré : je pourrai finir ce DM !

J'avais déjà fait les calculs :lol3:
Et je peux te dire que tu as raison sauf que c'est