Propriétés d'une fonction.

[Heanel]

Bonjour à tous ! Je suis complètement bloqué sur l'exercice suivant :

On se propose de déterminer les fonctions g définies et continues sur R telles que pour tout (x,y) R, g(x+y)=g(x)*g(y) et g(0)=1 (P).
La fonction n'est pas supposée dérivable.
On se rappellera que si une suite () converge vers une limite l et si g est continue en l, alors (g()) converge vers g(l).

1) Montrer que pour tout n N* et pour tout x R on a : g(nx)=[g(x)]
2) Montrer que pour tout x R on a : g(x) 0
3) Montrer que pour tout x R on a : g(x) différent de 0. On pourra utiliser le fait que g()=g(n/n) et la continuité de g.
4) Démontrer que pour tout (p;q) NxN*, on a g(p/q) = [g(1)]
5) Pour tout x , on considère la suite () définie sur N* par = E(nx)/n. E désigne la fonction partie entière dont on rappelle qu'elle bénéficie de la propriété suivante : pour tout X , X-1 < E(X) X. Démontrer que la suite () converge et calculer sa limite.
6) En utilisant la continuité de g, démontrer que si g possède les propriétés (P), pour tout x R, g(x) = [g(1)]


J'ai fais les questions 1, 2 et 4. Pour la 3ème je ne vois pas du tout comment m'y prendre malgré les indices de l'énoncé. Pour la 5ème question, je ne vois pas comment démontrer que la suite converge alors que x n'est pas fixé. Pourriez vous me débloquer sur ces questions, s'il vous plait ? Merci !

[Heanel]

S'il vous plait, quelqu'un peut-il m'aider ? =/

[Nightmare]

Salut,

eh bien, il faut suivre l'indication :

. Du coup, quels que soient x et n , et si g(x)=0 cela implique donc que . Comme c'est vrai pour tout n, on peut alors passer à la limite pour n->+oo, et en utilisant la continuité de g , on obtient que.........

[Heanel]

Bonsoir, et merci d'avoir répondu !
Cependant je ne comprends toujours pas. Je suis bien d'accord sur le fait que puisqu'on l'a montré dans la question 1, mais je ne vois toujours pas comment calculer la limite et utiliser la continuité, désolée :triste:

[Nightmare]

Eh bien, à x fixé, quelle est la limite de x/n quand n tend vers +oo ? Donc que vaut la limite de g(x/n) par continuité de g ? Or, g(x/n) est toujours nul d'après ce qu'on a montré, et par hypothèse, g(0)=1. Tout ceci suffit à trouver une contradiction.

[Heanel]

Ca y'est, j'ai compris ! Merci beaucoup !

Et comment dois-je m'y prendre avec la question 5 ? Pour montrer qu'une suite est convergente, je sais qu'il faut montrer qu'elle est croissante et majorée ou décroissante et minorée mais avec le x non fixé je ne vois pas comment faire.

[Nightmare]

Pour montrer qu'une suite est convergente, je sais qu'il faut montrer qu'elle est croissante et majorée ou décroissante et minorée mais avec le x non fixé je ne vois pas comment faire.

Non, ce n'est pas du tout la seule méthode pour montrer qu'une suite est convergente ! Tu as par exemple (et je ne le cite pas totalement au hasard) les théorèmes d'encadrement (si une suite peut s'encadrer par deux suites qui ont la même limite, alors cette suite converge aussi et a la même limite que les deux autres, c'est ce qu'on appelle aussi le théorème des gendarmes).

Attention à bien faire la différence entre ce qui est suffisant et ce qui est nécessaire. Il n'est pas nécessaire de montrer qu'une suite est croissante (ou décroissante) et majorée (ou minorée) pour montrer qu'elle est convergente, mais c'est suffisant.

[Heanel]

Alors... Dans ce cas on a :
xn - 1 < E(xn) xn
(xn - 1)/n < E(xn)/n xn/n
x - 1/n < E(xn)/n x

Donc E(xn)/n est convergente et quand n tend vers +oo, elle admet x comme limite ?

[Nightmare]

exactement ! :happy3:

C'est la réponse à cette question qui est essentielle pour la question 6 on la combinant à la question 4. En effet, il faut bien voir une chose: x est a priori quelconque (entier, rationnel, irrationnel, ce qu'on veut), par contre, les E(xn)/n eux ils sont tous.............

a toi de jouer.

[Heanel]

Je crois voir comment procéder.
converge vers x, et g est continue en x. Donc converge vers g(x).
comme E(nx) et n NxN*
Et donc quand n tend vers +oo,

C'est correct ?

[Nightmare]

Oui, c'est parfait!

[Heanel]

Merci beaucoup pour votre aide !
Bonne soirée :)