Espace euclidien

par **myboo45** » 04 Mai 2006, 09:33

Bonjour a tous,
soit e un espace euclidien orienté de dimension 3 rapporté à une base orthonormale directe B. Pour tout a réel on considère l'endomorphisme f dont la matrice b est :
A=1/3 ( a 2 -2
2a 1 2
-2a 2 1 )
Démontrer qu'il existe deux valeurs de a pour laquelle f est un endomorphisme orthogonal.
Pour chacune de ces deux vameurs, déterminer la nature géométrique de f.

Je trouve 1 et -1 est ce correct? et merci de m'indiquer la nature car je ne sais pas.

par **yos** » 04 Mai 2006, 10:37

C'est bon.
Pour la nature, tu calcules le déterminant. Si c'est 1 c'est une rotation, si c'est -1, c'est une isométrie négative : -Id o R

par **serge75** » 04 Mai 2006, 11:02

pour les isométries négatives, on les décompose en général en produit commutatif d'une rotation et d'une réflexion par rapport à l'orthogonale de l'axe de la rotation (sauf dans le cas de -Id qui est la symétrie par rapport à l'origine)

par **yos** » 04 Mai 2006, 11:10

Oui c'est la réduction canonique. Elle marche aussi pour -Id=d o s = s o d où d est le demi-tour d'axe (0,0,1) et s la réflexion de plan <(1,0,0), (0,1,0)>. Mais elle n'est pas unique dans ce cas.

par **serge75** » 04 Mai 2006, 11:15

certes, yos... Mais avoue que cette décomposition est un peu tordue !!! :we:

par **myboo45** » 06 Mai 2006, 10:40

pour le a=1 j'ai trouvé une symétrie orthogonale par rapport à un plan d'équation -x+y-z=0. Mais je n'arrive pas à trouver pour a= -1.

On obtient la matrice :
B= 1/3 ( -1 2 -2
-2 1 2
2 2 1)

B appartient aux orthogonaux mais n'est pas symétrique. donc après je ne sais pas comment faire; merci de votre aide

par **yos** » 06 Mai 2006, 11:02

det(B)=1 donc rotation. L'axe est formé du noyau de B-I (invariants de B). Pour l'angle de la rotation, tu prends un vecteur X orthogonal à l'axe, tu calcules BX et tu cherches l'angles (X,BX) avec le produit scalaire et le produit vectoriel.

par **myboo45** » 06 Mai 2006, 11:26

J'ai trouvé cos O=1/3 donc pour moi j'ai faux et l'équation donne
-4x+2y-2z=0
-2x-2y+2z=0
2x+2y-2z=0

ce qui donne x=0 et y=z. c'est bon?

par **yos** » 06 Mai 2006, 13:31

Oui l'axe est u= (0,1,1).
Un vecteur normal à l'axe est X= (1,0,0).
Son image est BX=(-1/3,-2/3, 2/3).
Le produit scalaire est -1/3, et comme les vecteurs sont unitaires, c'est le cosinus cherché.
Le produit vectoriel est -(2/3)u donc le sinus est -2/3.
(l'axe est orienté et le plan (X,BX) est orienté corrélativement à l'axe.)
L'angle est donc -arccos(-1/3)

par **myboo45** » 06 Mai 2006, 16:08

comment on fait en détail pour calculer le produit scalaire (pour avoir -1/3) et le produit vectorielle (pour avoir -2/3)

Je vous remercie

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