Produits scalaires

[grego]

Bonjour, j'aimerai un petit coup de main car je ne comprend rien a cette exercice. Merci

Pour determiner les coordonnées du projeté H d'un point P sur une droite (A;u) on peut envisager au moins 3 méthodes:

-méthode 1: écrire des équations de droites et chercher une intersection.

-méthode 2: écrire 2 équation: l'orthogonalité des vecteurs AH et PH et la colinéarité des vecteurs AH et u .

-méthode 3: écrire une équation cartésienne de la droite (A; vecteur u) et une équation du cercle centré en P contenant H apres avoir calculé PH.

On dispose d'un repère orthonormé du plan (O;i;j), des points A(2;0), B(0;4) et de la droite D(0, vecteur V) avec Xv=3 et Yv=4.

1-Calculer les coordonnées de I projeté de A sur D (méthode 2), de J projeté de B sur D (méthode 1) et de K projeté de O sur(AB) (méthode 3).On vérifira ces résultats graphiquement.

2-Le point K appartient-il au cercle de diamètre [I,J]?

Merci de votre aide car je n'arrive vraiment à rien.

[Daragon geoffrey]

slt
pour la première on a AI.V=0 (produit scalaire), avecAI(xi-2;yi) et V(3;4) alors on obtient par définition AI.V=3(xi-2)+4yi=0, de plus on a aussi OI=k*V où k est un réel (pour la colinéarité), alor xi=3k de même yi=4k, on a donc un système de 3 équations à 3 inconnues; k, xi et yi que tu sais résoudre !

[tigri]

bonsoir

on te demande de trouver les coordonnées du projeté orthogonal I de A sur la droite (O, vecteur v) en utilisant la méthode 2): c'est à dire:
x et y étant les coordonnées de I, tu écris 2 équations, les contenant en exprimant:
-)que les vecteurs OI et AI sont orthogonaux (produit scalaire nul)
-)que les vecteurs OI et v sont colinéaires (déterminant nul)

[Daragon geoffrey]

slt pour la seconde partie (methode 1 avec J), on a : 1 équation de D est y=mx+p, or D passe par v(3;4) et O(0;0) donc on a p=0 et m=4/3 donc une équation réduite de D est y=(4/3)*x, tu raisonnes de la même façon pour la suite où tu dois déterminer une équation de (BJ) et trouver l'intersection des 2 droites ! ça va assez vite ...

[Daragon geoffrey]

slt pour la dernière méthode, on trouve par la même procédure que précédemment l'équation de (AB) : y=-2x+4, sachant que A(2;0) et B(0;4) appartiennent à (AB) ! de plus, par définition, la distance OK=rac[x^2 + (4-2x)^2]=r, où r est le rayon du cercle centré en O et de rayon OK, avec K(x;y), la suite devré aller ! @ +

[grego]

merci Daragon, pour ton aide donc j'obtiens :

Pour le point I ( méthode 2 )
j'ai trouvé :
par définition AI.V=3(xi-2)+4yi=0, de plus on a aussi OI=k*V où k est un réel (pour la colinéarité), alor xi=3k de même yi=4k, on a donc un système de 3 équations à 3 inconnues; k, xi et yi
donc si j'ai bien compris :
AI.V=3(xi-2)+4yi=0
AI.V=3(3k-2)+4*4k = 9k-6+16k = 25k-6
mais après je ne vois pas comment faire


de J projeté de B sur D (méthode 1)
=> j'ai trouvé comme coordonné pour J :
x=48/25 et y=64/25 donc J(48/25,64/25).

et de K projeté de O sur(AB) (méthode 3).
cette méthode impose de calculer OK: c'est la hauteur du triangle rectangle AOB
OK.AB=OA.OB
équation du cercle de centre O et de rayon OK
x²+y²=OK²
on calcule alors l'équation de AB

=>l'équation de (AB) : y=-2x+4, sachant que A(2;0) et B(0;4) appartiennent à (AB)

je reporte dans l'équation du cercle
Puisque par définition, la distance OK=rac[x^2 + (4-2x)^2]=r, où r est le rayon du cercle centré en O et de rayon OK, avec K(x;y)

Pour résoudre le système j'obtiens :
2x+y-4=0 (1)
x²+y²=d² (2) sachant que x²+y²=(rac[x^2 + (4-2x)^2])² = (rac[x^2 + 16-16x+4x²])²
x²+y²=(x+ 4 - 4 rac x + 2x])²=x² + 16 +16 x² +4x²
y²=20x²+16
y= rac [20x² ] + 4

je reporte la valeur trouvé dans (1)
2x +rac(20x²) + 4 -4 =0
2x = - rac(20x²)
x= - rac(20x²) /2 => est ce juste ???

[grego]

merci pour votre aide