Exercice suites

[Callie]

Bonjour,

J'ai un DM à rendre dans la semaine et je bloque sur la dernière partie d'un exercice !

soient (Un) définie sur N par :

u0=1 et un+1 = 2un+1-n

et (Sn) définie sur N par :

Sn = u0+u1+...+un



3) a. Exprimer en fonction de n les sommes : 1+2+...+n et 1+2+2²+...+2^n

b. En déduire une expression de Sn en fonction de n

(c. Vérifier le résultat obtenu dans la première partie pour n=5)



Merci par avance de votre aide !

[Lord Phantom]

Bonjour,

J'ai un DM à rendre dans la semaine et je bloque sur la dernière partie d'un exercice !

soient (Un) définie sur N par :

u0=1 et un+1 = 2un+1-n

et (Sn) définie sur N par :

Sn = u0+u1+...+un



3) a. Exprimer en fonction de n les sommes : 1+2+...+n et 1+2+2²+...+2^n

Bonsoir !

C'est une formule que tu ne connais peut être pas alors on va voir comment l'a fait celui qui a inventé la formule !

Tu as une somme qu'on va appeler S
S=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n !
Que se passe-t-il si à S on ajoute S?!

[valentin.b]

Bonsoir !

C'est une formule que tu ne connais peut être pas alors on va voir comment l'a fait celui qui a inventé la formule !

Tu as une somme qu'on va appeler S
S=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n !
Que se passe-t-on si à S on ajoute S? ?!

Je trouve ça un peu brutal comme indication ! Je ne suis pas sûr que le Gauss qui en Lord Phantom resorte ... Cela dit je ne vois pas comment faire autrement. Peut être la démonstration géométrique ...

[valentin.b]

Pour le seconde, si on note la somme :



Que vaut :

[Lord Phantom]

Je trouve ça un peu brutal comme indication ! Je ne suis pas sûr que le Gauss qui en Lord Phantom resorte ... Cela dit je ne vois pas comment faire autrement. Peut être la démonstration géométrique ...

Ben je vois pas comment faire autrement. C'est pas très dur ce que je propose ! Moi je me souviens que quand mon professeur de 1ère S nous a dit de calculer la somme de S = 1+2+3+...+n
J'avais trouvé la méthode tout seul, sauf que à la place de faire 2S, j'avais associé 1 à n dans ma tête, 2 à n-2 etc... je trouvais donc que des (n+1) et il y en avait n/2

[valentin.b]

Ben je vois pas comment faire autrement. C'est pas très dur ce que je propose ! Moi je me souviens que quand mon professeur de 1ère S nous a dit de calculer la somme de S = 1+2+3+...+n
[...]

Au moins notre débat peut guider celui qui est dans le besoin !

[Lord Phantom]

Au moins notre débat peut guider celui qui est dans le besoin !

:hum: J'ai supprimé mon post pour pas donner la solution :mur: C'est que je vais me faire sanctionner

[Callie]

Merci à vous deux alors pour 2S voilà ce que j'ai trouvé

S = 1+2+3+...+ (n-2) + (n-1) + n
S = n+ (n-1) + (n-2) + ... +3+2+1
2S = (1+n) + (2+n-1)+(3+n-2)+...+(3+n-2)+ (2+n-1) + (1+n)
2S = 1n+1n+1n+...+1n+1n+1n

C'est bien ça ?

Et pour avoir S je divise chaque 1n par deux ? donc 1/2 n ?

[Lord Phantom]

Merci à vous deux alors pour 2S voilà ce que j'ai trouvé

S = 1+2+3+...+ (n-2) + (n-1) + n
S = n+ (n-1) + (n-2) + ... +3+2+1
2S = (1+n) + (2+n-1)+(3+n-2)+...+(3+n-2)+ (2+n-1) + (1+n)
2S = 1n+1n+1n+...+1n+1n+1n

C'est bien ça ?

Et pour avoir S je divise chaque 1n par deux ? donc 1/2 n ?

C'est très bien pensé mais pas tout à fait ça! ATTENTION ! 1+n n'est PAS égal à 1n !
1n c'est 1*n ! C'est différent !

[Callie]

Ah oui oups ^^
Donc 2S= 1+n+1+n+1+n+...+1+n+1+n+1+n si je ne me trompe pas ?

Par contre du coup je suis un peu perdue, comment faire pour trouver S ?

[Lord Phantom]

Ah oui oups ^^
Donc 2S= 1+n+1+n+1+n+...+1+n+1+n+1+n si je ne me trompe pas ?

Par contre du coup je suis un peu perdue, comment faire pour trouver S ?

Effectivement si il y a de quoi s'y perdre écrit de cette façon ! Prend l'habitude de laisser les parenthèses ! C'est beaucoup plus clair regarde :

2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) (n+1)

Parce qu'il ne faut pas oublier que n+1 est un nombre ! tout comme 100 ! n+1 c'est le nombre après n !
Par exemple si n = 949349 et bien n+1 c'est 949350 !

[valentin.b]

Comptes le nombre de fois qu'apparait (n+1) ...

[Callie]

Je vois donc
2S = (n+1)+(n+1)+(n+1)...+(n+1)+(n+1) +(n+1)
Donc S = (n+1)/2 + (n+1)/2 + (n+1)/2 + ... + (n+1)/2 + (n+1)/2 + (n+1)/2 ?


@valentin.b : 6 mais puisqu'il y a des '...' ?



Et pour la deuxième somme à exprimer en fonction de n j'ai trouvé :

1+2+2²+...+2^n
= (2 ^ (n+1) - 1) / (2 - 1)
= 2 ^(n+1) - 1

Est-ce que ça suffit à l'exprimer en fonction de n comme il est demandé ?

[valentin.b]

Je vois donc
2S = (n+1)+(n+1)+(n+1)...+(n+1)+(n+1) +(n+1)
Donc S = (n+1)/2 + (n+1)/2 + (n+1)/2 + ... + (n+1)/2 + (n+1)/2 + (n+1)/2 ?


@valentin.b : 6 mais puisqu'il y a des '...' ?

De l'humour mathématique ? Il n'y a pas 6 fois (n+1). Ce que j'entend par comptes les (n+1), et par exemple pour n=4 :
S=1+2+3+4

Soit :
S=(1+4)+(2+3)+(3+2)+(4+1)

Ici n=4 et n+1=5, il y a 4 fois le nombre 5, c'est à dire 4 fois le nombre (n+1). Si je change et que je prend n=5, il y a 5 fois le nombre 6=n+1, etc ...

[Callie]

Je n'arrive pas à comprendre :/

[valentin.b]

Tu es d'accord que, par exemple si tu as une expression qui s'écrit :

a+a+a+...+a+a

Où a intervient b fois, tu peux écrire :

a+a+a+...+a+a=b.a


Donc dans l'expression :

(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)

... si tu arrives à compter le nombre de fois que tu as (n+1), disons p fois, tu peux écrire :

(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)=p(n+1)

Dans le cas que tu étudie p n'a pas n'importe quelle valeur, et tu dois le déterminer pour écrire 2S sous la forme p(n+1).

[Callie]

D'accord je comprends la démarche mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi p est bien déterminé et comment le trouver ?
Ce que je voulais dire par la présence des "..." c'est que je ne comprends pas comment on peut trouver "p" puisqu'il y a un nombre inconnu de "n+1" dans ces pointillés :hein:

[Lord Phantom]

D'accord je comprends la démarche mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi p est bien déterminé et comment le trouver ?
Ce que je voulais dire par la présence des "..." c'est que je ne comprends pas comment on peut trouver "p" puisqu'il y a un nombre inconnu de "n+1" dans ces pointillés :hein:

Tu te souviens qu'au début,

S= 1+2+3+4...+n ! Donc combien y'a t-il de nombre dans S ?

Je te donne un exemple :

S''=1+2+3+..+10. Combien y'a t'il de nombre qui compose S''?

[Callie]

Aaah !
il y a (n-p+1) soit n termes quand le premier est 1 ?
(donc 10 dans l'exemple)

[Lord Phantom]

Aaah !
il y a (n-p+1) soit n termes quand le premier est 1 ?
(donc 10 dans l'exemple)

Exact! Donc combien y a t-il de (n+1) dans 2S ?!