Comment démontrer des identités remarquables

[aidemaths85]

Bonjour,
J'ai un exercice de maths à finir et je ne sais pas comment démontrer ces égalités.

a=(5x+8)² -4 (2x+5)² = (3x-6)(3x+6)
ainsi que
b=(x+5)(3x-2)+(x+5)(5x-4) = (x+5)(8x-6)

Mon problème est que je ne sais pas démontrer,
Je souhaiterais votre aide pour que l'on m'explique comment l'on fait.

Merci d'avance!

[Lostounet]

Bonjour, pour la b) tu remarques un facteur commun (x + 5). Tu sais factoriser par (x + 5)?

[Sve@r]

Bonjour,
J'ai un exercice de maths à finir et je ne sais pas comment démontrer ces égalités.Mon problème est que je ne sais pas démontrer, Je souhaiterais votre aide pour que l'on m'explique comment l'on fait.

Merci d'avance!

Bonjour
Lostounet t'a donné une méthode rapide.
La méthode de base pour démontrer que A = B, c'est de développer A et développer B puis calculer A-B. Si ça donne 0, alors c'est démontré.

[aidemaths85]

Merci loustounet, j'ai déja fait les calculs, Le premier j'ai trouver que il était "impossible" et le deuxième "possible" mais comment faire pour le démontrer, ou plutôt l'expliquer, car mon probleme est que je ne sais pas le démontrer.

[vaido]

Bonjour,

Développe (5x+8)² -4 (2x+5)²

ensuite développe (3x-6)(3x+6) et tu dit qu'ils sont égals.

[Lostounet]

Bonjour,

Développe (5x+8)² -4 (2x+5)²

ensuite développe (3x-6)(3x+6) et tu dit qu'ils sont égals.

Sinon, on pourrait remarquer un :zen:

Mais factoriser, ça ne marche pas toujours. La méthode de base pour prouver que A = B c'est de développer A et B et voir, comme te l'a dit Svear.

Modif: Pourquoi dis-tu que la deuxième est 'impossible' ?

[Sve@r]

et tu dit qu'ils sont égals.

Oui bien sûr. Tu dis ça comme ça, au pif...

[aidemaths85]

J'ai appris en cours que quand on factorise un calcul, pour verifier si il est correct il faut developper le résultat de la factorisation, esce que c'est que ce tu me dit Lostounet?

Et pour le a) quand je l'est factoriser j'ai trouvé que ce n'était pas possible! :/

[Lostounet]

C'est exact, on peut vérifier une factorisation par un développement.

Ok donc, il est bien plus pratique de développer directement le membre de droite et le membre de gauche dans les deux cas pour démontrer l'égalité. Oublie les factorisations pour le moment.

Montre-nous tes développements :)

[aidemaths85]

Mais le a) 22x² + 25x + 4 = (5x+2)² - 3x² + 5x

Je ne comprends pas pourquoi tu veux que je développe ceci alors que le developpement consiste à transformer un produit en une somme ou une différence. mais le a) est déja une somme alors on ne peut que factoriser le calcul non ?

[Lostounet]

Mais le a) 22x² + 25x + 4 = (5x+2)² - 3x² + 5x

Je ne comprends pas pourquoi tu veux que je développe ceci alors que le developpement consiste à transformer un produit en une somme ou une différence. mais le a) est déja une somme alors on ne peut que factoriser le calcul non ?

Remarque très pertinente..!

En fait j'ai deux choses à te dire.

Le signe '=' est sacré pour moi, alors il faut éviter de le mettre si on n'est pas absolument certain que l'on écrit une égalité.

Pour répondre à ta question, il est vrai que (5x+8)² -4 (2x+5)² est une somme, mais cette somme n'en est pas tout à fait une, dans le sens où on y remarque toujours des produits: (5x + 8)^2 = (5x + 8)(5x + 8)..
Donc il s'agit plutôt d'une formule semi-développée. Tu peux soit la développer, soit la factoriser. Nous avions choisi de tout développer.

Je vais t'indiquer la méthode attendue.

On cherche à démontrer l'égalité: (5x+8)² -4 (2x+5)² = (3x-6)(3x+6)
1) Développons tout d'abord le membre de gauche:
(5x+8)² -4 (2x+5)²
= ...

2) Développons le membre de droite:
(3x - 6)(3x - 6) = ....

3) On remarque que... donc.

Alors tu peux me montrer ces développements, mais en détail ?

[aidemaths85]

J'ai trouvé :

1)
(5x + 8)² -4 (2x+5)²
(5x+8)(5x+8) -4 (2x+5)(2x+5)
(25x)² +40x + 40x + 64 - 4 +(4x)² + 10x + 10x + 10
(29x)² + 100x + 70

2)
(3x-6)(3x-6)
(3x-6)²
(3x)² +2*3x*6+6²
9x²+36x+36

[Lostounet]

1)
(5x + 8)² -4 (2x+5)²
(5x+8)(5x+8) -4 (2x+5)(2x+5)
(25x)² +40x + 40x + 64 - 4 +(4x)² + 10x + 10x + 10
(29x)² + 100x + 70

Pas mal.. Mais il y a eu des erreurs de signes!
Je te conseille de recommencer en mettant des parenthèses:

(5x + 8)² -4 (2x+5)²
= [(5x + 8)²] - [4 (2x+5)²]

Modif: Et en fait, et non pas qui est égal à

Modification 2: Tu aurais pu éviter toute ces fautes en appliquant les identités remarquables au lieu de développer :zen:

[aidemaths85]

Merci c'est plus clair!

mais je ne sais plus comment faire pour calculer [ 4 (2x + 5)² ]

Pourrais-tu m'aider?

[Lostounet]

C'est simple. Développe (2x + 5)² et multiplie les trois termes par 4.

[aidemaths85]

Merci!

Mais je dois faire une petite phrase pour démontrer.

Quesce que je pourrais dire ?

[Lostounet]

Faudrait déjà démontrer par le calcul avant de s'attarder sur la rédaction :P