QuestionS sur les matrices

[tostakyminut]

Bonsoir tout le monde,

Je viens de m'inscrire car j'ai vraiment besoin d'aide. J'espère trouver ici, grâce à vous, des réponses à mes questions. J'en profite d'ailleurs pour rendre un hommage appuyé à tous ces courageux qui répondent aux questions, sur ce forum, et sur d'autres.

Voilà, moi, je suis plutôt, comme on dit, un littéraire. Mais je suis mes études dans le domaine scientifique et technique. Alors, je risque d'en énerver plus d'un avec mon incompréhension. Et en plus, je suis à moitié vieux. Bref, je cumule les défauts incompatibles avec les maths.

Allez, je me lance. Je travaille en ce moment sur les partiels. Nous avons fait une séance d'exercices au dernier cours, et quand je reprends la correction, il y a plusieurs choses qui m'échappent. je vais essayer d'exposer ça clairement.

- Dans un exercice, il faut déterminer le profil d'une matrice 2x2 d'ordre 2. Je ne sais du tout ce qu'il faut faire.

- Ailleurs, on nous demande la multiplicité algébrique et géométrique de chaque valeur propre. Qu'est ce qu'une valeur propre? Qu'est ce que la multiplicité algébrique et géométrique ? on finit par conclure que la matrice est diagonalisable grace à un tableau dont j'ignore le sens.


- Encore ailleurs, je fais le cofacteur de A (Ã) pour trouver l'inverse de A (sur matrice 3x3). A un moment, je change le signe des valeurs Nord, Sud, Est et Ouest (je ne sais pas si c'est clair ça) alors que dans ma formule générale, je n'ai pas vu ça. C'est normal?

Bon, voilà, ça fait beaucoup, je sais, mais le pire, c'est que j'ai encore plein d'autres questions comme ça. Merci mille fois d'avance.

[Vahngal]

Bonsoir,

Les incompréhensions n'énervent personne içi :lol3: ... tant que les personnes désireuses d'éclaircir leurs incompréhensions sont prêtes à mettre la main à la pâte ! Ce qui est ton cas.

- Déterminer le profil d'une matrice, je ne vois pas trop... Peut être est-elle symétrique, triangulaire supérieure ou inférieure ? Pourrais tu nous la montrer ?

- Visiblement tu n'as pas vu la diagonalisation. On peut t'aider, mais si tu n'as aucun cours à ce sujet, tu ne vas saisir toute la puissance du procédé.

Il doit sûrement y avoir de bons cours sur Internet, mais je ne connais pas leur adresse... D'autres membres du forum pourront peut être t'aider davantage à ce sujet...

[Arnaud-29-31]

Salut,

En effet, il serait bien de voir la matrice.

Une fois que tu as obtenu le polynôme caractéristique, les racines de ce polynôme sont les valeurs propres.

Lorsque l'on parle de multiplicité algébrique, on entend la multiplicité en tant que racine du polynôme : est-ce que c'est une racine simple, double ... ?

La multiplicité géométrique correspond à la dimension de l'espace propre associé (l'espace que tu obtient lorsque tu résous avec A ta matrice et la valeur propre en question).

Si pour chaque valeur propre, la multiplicité algébrique est égale à la multiplicité géométrique alors on peut dire que notre matrice est diagonalisable.

[laya]

Mais, si j'ai bien compris, il dit dans l'énoncé que la matrice A est d'ordre 2 dans le sens où : A annule et . Ce qui donnera ce fameux profil (sa gueule quoi !).

[tostakyminut]

En fait, je vous scanne le 1er exercice, histoire qu'on parle de la même chose, et de ne pas se disperser



Alors, là, dès le début, je sens qu'il y a une erreur dans la prise de note avec l'inverse de A et sa transposée. Pour moi, l'inverse d'une 2x2, c'est juste inverser a et d, et changer le signe de b et c. Alors, ou est la vérité? Ca fait mal, mais comment fait-on l'inverse d'une 2x2? Ensuite, finalement, je pense que je pourrais m'en sortir pour arriver à la conclusion. C'est de la peitite logique, purement calculatoire. C'est juste que j'ai du mal à comprendre l'intérêt de cet exercice.

[tostakyminut]

Là, je suis pas mal. On nous demande, sur une 2x2, de fournir la trace (facile), le déterminant(facile), le spectre (j'ai eu du mal mais c'est bon), les multiplicités algébriques et géométriques (là, ça se corse).
Déjà, grace à vous dans mon petit tableau, j'ai trouvé ce que voulaient dire ma et mg. C'était sous mes yeux mais je ne comprenais pas. Mon seul problème en fait, c'est de comprendre comment remplir ce petit tableau à partir de lambda 1 et lambda 2. A quoi correspondent ces 1?

[bentaarito]

et ben les 1 correspondent aux multiplicités algébriques(ma) de chaque racine en tant que racine du polynôme caractéristique et aux multiplicités géométriques(mg)c a d la dimension des sous espaces propres associés

[tostakyminut]

Merci. Déjà, j'y vois plus clair. Par contre, je ne comprends pas ce qu'est une multiplicité algébrique et géométrique.

[bentaarito]

Sais-tu ce que c'est que le polynôme caractéristique d'une matrice(ou d'un endomorphisme)!!

[tostakyminut]

Ah non! Je croise le mot souvent sur les forums, mais je ne vois pas. Et oui! On part de loin.

[bentaarito]

Ah non! Je croise le mot souvent sur les forums, mais je ne vois pas. Et oui! On part de loin.

sinon , regarde ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_caract%C3%A9ristique

[tostakyminut]

OK. alors, Ca va de mieux en mieux. Mais les idées se mélangent. Grâce à cette page, j'ai pu retrouver mes lamda 1 et 2. Si j'ai bien compris, c'est ce qui est appelé X chez wikipédia, donc, les polynomes caractéristiques de ma matrices sont le spectre, donc 1 et 5.
Mais comment je conclue que :
la multiplicité algébrique pour lambda 1 = 1
la multiplicité algébrique pour lambda 2 = 1
la multiplicité géométrique pour lambda 1 = 1
la multiplicité géométrique pour lambda 2 = 1

Apparamment, cela veut dire qu'aucun lamda n'est élevé au carré ou à un ordre supérieur. C'est ça? Je ne comprends toujours pas comment déterminer ces multiplicités. Ca a l'air tout con pourtant

[bentaarito]

Ordre de multiplicité d'une racine[wiki]

Si r est racine du polynôme P(X), il existe un polynôme Q(X) tel que P(X) = (X r)Q(X) (pour le démontrer il suffit de retrancher à chaque monôme akXk de P(X) la valeur akrk et de constater que (X r) se met naturellement en facteur). Si Q(r) est nul, alors on peut encore mettre (X r) en facteur. On dit alors que r est racine double de P(X).

Plus généralement, s'il existe un polynôme Q(X) et un entier naturel non nul m tels que P(X) = (X r)mQ(X) et Q(r);)0, on dit que r est racine d'ordre m, ou a pour multiplicité m (Q et m sont alors uniques). Par exemple, le polynôme P(X) = X3 2X2 + X peut aussi s'écrire P(X) = (X 1)2X ; donc 1 est une racine de P, et sa multiplicité est égale à 2, alors que 0 est racine simple.


sinon pour l autre définition (mg):
http://fr.wikipedia.org/wiki/Multiplicit%C3%A9_%28math%C3%A9matiques%29

[tostakyminut]

Voilà, mon partiel est passé lundi. Je pense que je m'en suis pas mal tiré. Merci donc à vous pour votre aide. Ca fait plaisir.