DM Approximation de la racine

[Come64]

Bonjour à tous,

voilà, je planche sur une partie de mon DM :mur: et j'aimerais bien un coup de main :marteau: , car je ne vois pas comment débuter! Et voir si on pouvait le poursuivre ensemble en fonction des difficultées présentées! Merci d'avance!

1. Soit X0 un réel strictement positif.
(a) On considère la tangente T à C au point d’abscisse x0 et on note x1 l’abscisse de l’éventuel point de rencontre entre T et l’axe des abscisses.

Montrer que x1=x0;) F(x0)/f'(x0).

(b) On considère la fonction Phi définie sur IR+* par Phi(x)=x;) f(x)/f'(x)

Vérifier l’existence de Phi ainsi que l’égalité Phi(a)=a.

[Rappel : on définit ainsi la suite d’approximation de a induite par la méthode de Newton. Il reste à
contrôler l’erreur commise dans notre exemple]

2. (a) Vérifier, sans calculer f", l’égalité Phi'= f*f"/(f')²
(b) Calculer f".
(c) Montrer que f' et f" sont croissantes sur IR+*.
(d) En déduire l’encadrement 0(e) En déduire, pour les mêmes valeurs de x, l’encadrement 0(f) En déduire, pour les mêmes valeurs de x, l’encadrement 0
3. On pose x0=0,81 et x1=Phi(x0).
(a) Montrer que x2=Phi(x1) est une valeur approchée de a à 10^-6 près
(b) Donner, à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, une valeur approchée de x2!

[Vahngal]

Bonjour à tous,

voilà, je planche sur une partie de mon DM :mur: et j'aimerais bien un coup de main :marteau: , car je ne vois pas comment débuter! Et voir si on pouvait le poursuivre ensemble en fonction des difficultées présentées! Merci d'avance!

1. Soit X0 un réel strictement positif.
(a) On considère la tangente T à C au point d’abscisse x0 et on note x1 l’abscisse de l’éventuel point de rencontre entre T et l’axe des abscisses.

Montrer que x1=x0;) F(x0)/f'(x0).

(b) On considère la fonction Phi définie sur IR+* par Phi(x)=x;) f(x)/f'(x)

Vérifier l’existence de Phi ainsi que l’égalité Phi(a)=a.

[Rappel : on définit ainsi la suite d’approximation de a induite par la méthode de Newton. Il reste à
contrôler l’erreur commise dans notre exemple]

2. (a) Vérifier, sans calculer f", l’égalité Phi'= f*f"/(f')²
(b) Calculer f".
(c) Montrer que f' et f" sont croissantes sur IR+*.
(d) En déduire l’encadrement 0<Phi(x)<[f(0,81)×f"(0,81)]/f'(0.8)²<10^-2 pour tout x vérifiant a<x<0.81 (inférieur ou égal)
(e) En déduire, pour les mêmes valeurs de x, l’encadrement 0<Phi(x)-a<(10^-2)*(x;)a) (inférieur ou égal)
(f) En déduire, pour les mêmes valeurs de x, l’encadrement 0<Phi(x)<0,81. (inférieur ou égal)

3. On pose x0=0,81 et x1=Phi(x0).
(a) Montrer que x2=Phi(x1) est une valeur approchée de a à 10^-6 près
(b) Donner, à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, une valeur approchée de x2!

la tangente T est une droite affine...

Cette équation est vérifiée pour y=0 (T coupe l'axe des abscisses) et en x=x1.
2 équations, 2 inconnues...

[Come64]

Pourrais tu être plus explicit stp? Car cela parait évident pour toi, ce qui n'est actuellement pas mon cas!

J'ai bien compris que T est une droite affine (logique c'est une tangente)! D'où T s'écrit sous la forme y=ax+b!
L'équation est vérifiée pour y=0 car T coupe l'axe des abscisses! Et T coupe les abscisses en x1!
Soit que x équivaut à x1! jusque là ok!

Mais après je vois pas sur quelle piste tu me met avec les 2 équations et 2 inconnues! Car je ne les vois pas!

[Vahngal]

Pourrais tu être plus explicit stp? Car cela parait évident pour toi, ce qui n'est actuellement pas mon cas!

J'ai bien compris que T est une droite affine (logique c'est une tangente)! D'où T s'écrit sous la forme y=ax+b!
L'équation est vérifiée pour y=0 car T coupe l'axe des abscisses! Et T coupe les abscisses en x1!
Soit que x équivaut à x1! jusque là ok!

Mais après je vois pas sur quelle piste tu me met avec les 2 équations et 2 inconnues! Car je ne les vois pas!

Déjà quand tu écris pour T, y=ax+b, que vaut a ? (Sachant que T est la tangente à F en xo, ne l'oublies pas.)

Ensuite tu as deux points particuliers :
- Point A qui est à l'intersection entre l'axe des abscisses et la tangente T. A xA= ?,yA=0)
- Point B qui est le point où la tangente "touche" la courbe (xB = ?,yB = ?)

xA,xB,yB sont dans l'énoncé.
Leurs coordonnées (xA,yA,xB,yB) vérifient l'équation de T : y=ax+b

Tu as alors 2 équations, avec 2 inconnues (b d'abord, et ensuite x1). Tu trouves b, et ensuite tu trouves l'expression de x1 demandée.

[Come64]

Dans le T: y=ax+b je ne connais pas la valeur de a!

Cependant, j'ai bien, A(x1,0) et B(x(x0),f(x0) )! Je ne vois pas comment déterminer xB :/

Et mes 2 équations seraient:

0=ax1+b
f(x0)=ax(x0)+b

non?

[Sa Majesté]

Quelle est l'équation de la tangente à C au point d'abscisse x0 ?

[Come64]

Ok, c'est un peu honteux là... alors je vais le mettre sur le compte des vacances qui m'ont fait oublié beaucoup de choses! :lol5:


y = f '(a) (x - a) + f(a)

correspond à l'équation d'une tangente ou f'(a) représente le coefficient directeur! (réponse ici au "a" du y=ax+b)

la tangente s'écrivant aussi y = f '(a) x + b!

désolé ><

[Sa Majesté]

Oui sauf que j'avais dit au point d'abscisse x0 :lol3:

[Come64]

Désolé! Cela me donne T: y=f'(x0)*x+b

ainsi j'ai bien ma première équation, celle de la tangente!
Et je dois donc déterminer une 2e équation pour trouver b!

Sachant que 0=ax1+b (2e équation), on a: b=-ax1

Avec un sytème et par substitution, on aurait:

y=f'(x0)*x-ax1

:hum: jusque là ca va?

[Sa Majesté]

Non tu n'y es pas :triste:
Pourquoi est-ce que tu n'utilises pas y = f '(a) (x - a) + f(a) ??
Sauf que ce n'est pas "a" mais "x0"

[Come64]

ok je suis un boulet...
on a, y= f'(x0)(x-x0)+f(x0)
Vérifiée pour y=0
ainsi on a: f'(x0)(x-x0)=-f(x0)
puis x-x0=-f(x0)/f'(x0)
donc x(1)=x0- [f(x0)/f'(x0)]
><

Merci! :)
J'attaque le suivant!! :mur:

Bon j'ai réussi à démontrer l'existence de ma fonction! :we:
Ensuite, je dois démontrer que Phi(a)=a
Avec Phi(a)=a-[f(a)/f'(a)]
(Pour la suite d'approximation, je l'ai trouvée)
Quand à Phi(a)=a je suppose que c'est parce que la suite converge vers a, donc la fonction fait de même!
Mais je vois pas comment c'est possible car: x(n+1)=x(n)-(f [x(n)] / f' [x(n)])
or si Phi(a)=a
ca voudrait dire que: x(n+1)=x(n)! non? Ce qui me semble fort improbable!