Système dynamique

[romain6929]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pr ce problème :

On veut suivre l'évolution de la population de papillons (tordeuse des bourgeons de l'épinette)
L'équation d'évolution décrivant la densité N de la population du ver d'une année à l'autre est la suivante :

N(n+1) = N(n) + rN(n+1) (1 - ((N(n+1))/q)) - p(N(n+1)), n>0

ou p(N) représente un terme de prédation lié à la densité d'oiseaux (qui mangent les chenilles) :

p(N) = a * (N²/(1+N²))

ou r, a, q sont des constantes toutes positives du modèle

L'équation stationnaire est donnée par : rN(1- (N/q)) - p(N) = 0

en fonction des valeurs r, a, q on veut montrer que celle ci possède 1,2 ou 3 solutions strictement positives , c'est sur cette question que je bloque :s

je ne comprends pas trop l'équation stationnaire rN(1- (N/q)) - p(N) = 0, N la population du ver d'une année à une autre donc on devrait pas avoir des N(n) par exemple ?
rN(n)(1- (N(n)/q)) - p(N(n)) = 0

je ne vois pas du tout comment je peux montrer qu'elle possède 1,2, ou 3 solutions positives selon r,a,q ,

merci pour votre aide

romain

[arnaud32]

ton equation stationnaire n'est en fait que l'expression de la convergence de ta suite
dans ce cas tu notes (ce qui est un abus de notation)
par continuite des fonctions qui entrent dans ton equation d'evolution tu trouves que rN(1-N/q)-p(N)=0que tu peux ecrire p(N)=rN(1-N/q) ou aN²/(1+N²)=rN(1-N/q)
tu as donc N=0 ou aN=r(1-N/q)(1+N²)
tu as donc une equation du 3e degre en N

[romain6929]

merci du coup déja je comprends mieux la notation N
Donc a partir aN = r(1-N/q)(1+N²) je dois montrer que l'equation stationnaire possede 1,2, ou 3 solutions ?

[arnaud32]

exactement
et justement c'est un polynome de degre 3

[romain6929]

OK mais je ne vois pas ce que m'apporte le fait que le polynome soit de degre 3 ? :s

[arnaud32]

le nombre de racines ...

[romain6929]

Ahhh mais oui , dsl :s
merci pour votre aide

[romain6929]

on me demande par la suite ce que signifie cette solution stationnaire ? :doh:

[arnaud32]

c'est la population qui permet a ton systeme d'etre independant du temps donc en qq sorte la population d'equilibre