Résultat logique

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Imod
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Résultat logique

par Imod » 28 Déc 2010, 22:05

Bonsoir

Dans un tournoi où chacun rencontre l'ensemble de ses adversaires , le résultat est sanctionné par une note 0 pour une défaite , 1 pour un nul et 2 pour une victoire . A la fin du tournoi chacun totalise ses points et on dira que le résultat est logique si toute personne ayant battue une autre personne termine le tournoi avec un score supérieur à celle-ci : si A bât B alors S(A)>S(B)

Existe-t-il un score global ( totaux de chacun des joueurs ) ne pouvant pas correspondre à un résultat logique pour tous les joueurs ????

Amusez-vous bien :zen:

Imod



nodjim
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par nodjim » 29 Déc 2010, 12:22

Si j'ai bien compris:

X B C D E
A 0 2 2 2
B X 1 1 1
C X X 1 1
D X X X 1
A est battu par B mais néanmoins empoche 6 pts, alors que B n'en empoche que 5.

nodjim
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par nodjim » 29 Déc 2010, 12:25

Sinon, il me semble que les championnats de foot par exemple marchent exactement comme tu le décris, et à la fin de la saison, l'équipe gagnante n'a pas forcément gagné tous ses matches !

Imod
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par Imod » 29 Déc 2010, 19:23

J'ai modifié légèrement le texte initial et j'espère qu'il est plus clair : il est évident que tout tournoi n'est pas logique . La question est : peut-on truquer les résultats d'un tournois quelconque pour le rendre logique sans changer le total de chacun des joueurs ?

Imod

ffpower
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par ffpower » 29 Déc 2010, 20:07

Si on prend 3 gars A,B et C tels que A bat B, B bat C, C bat A..Ils ont 2 points chacun. Aucun score n'étant plus grand que l'autre impossible que ta propriété soit vérifiée, peu importe comment on "truque" les scores.

Si j'ai compris correctement l'énoncé en tout cas..

edit : peut être voulait tu dire : si A bat B alors ?

Imod
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par Imod » 29 Déc 2010, 20:29

Je crois que je n'ai pas été assez clair :mur:

Avec l'exemple que tu proposes chacun a récupéré 2 points . On peut envisager une série de matchs avec les mêmes joueurs et des résultats tous nuls alors les scores sont aussi 2 points pour chacun et le tournois est logique : ton exemple n'est donc pas un contre-exemple :triste:

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nodjim
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par nodjim » 29 Déc 2010, 21:09

Le total des points est un invariant qui vaut n(n-1) puisqu'un match rapporte toujours 2 points, et qu'il y a n(n-1)/2 matches par tournoi.
Une fois qu'on connait les résultats finaux, on peut tjs remettre toutes les équipes à n-1 points chacune, comme si tous les matches étaient à égalité, et faire la différence en ajoutant à la plus forte ce qu'on ôte à la plus faible, ce qui correspond à une victoire pour la + forte et à une défaite pour la + faible. on est alors certain que l'équipe au score le plus haut n'aura été battue par aucune autre plus faible. On peut donc tjs trouver un résultat global "logique".

Imod
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par Imod » 29 Déc 2010, 21:36

Tu modifies les scores des équipes deux à deux mais es-tu sûr d'aboutir aux scores voulus ou de ne pas tourner ainsi indéfiniment ?

Imod

ffpower
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par ffpower » 30 Déc 2010, 05:35

Imod a écrit:Je crois que je n'ai pas été assez clair :mur:

Avec l'exemple que tu proposes chacun a récupéré 2 points . On peut envisager une série de matchs avec les mêmes joueurs et des résultats tous nuls alors les scores sont aussi 2 points pour chacun et le tournois est logique : ton exemple n'est donc pas un contre-exemple :triste:

Imod


En fait tu avais été assez clair, c'est juste moi qui ait dit de la m***** ( mais je venais de partir quand je m'en suis rendu compte^^). J'y réfléchis..

nodjim
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par nodjim » 30 Déc 2010, 16:05

Imod a écrit:Tu modifies les scores des équipes deux à deux mais es-tu sûr d'aboutir aux scores voulus ou de ne pas tourner ainsi indéfiniment ?

Imod

Oui, je suis sûr. Y a t il besoin de donner des précisions ?

Imod
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par Imod » 30 Déc 2010, 18:10

nodjim a écrit:Oui, je suis sûr. Y a t il besoin de donner des précisions ?

En fait il faudrait expliquer comment tu fais pour obtenir par exemple les scores 1,2,3,6 pour 4 joueurs en partant de 3,3,3,3 ? Tu ne peux pas changer plusieurs fois le résultat du match entre le meilleur et le plus mauvais .

Imod

nodjim
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par nodjim » 31 Déc 2010, 10:24

Imod a écrit:En fait il faudrait expliquer comment tu fais pour obtenir par exemple les scores 1,2,3,6 pour 4 joueurs en partant de 3,3,3,3 ? Tu ne peux pas changer plusieurs fois le résultat du match entre le meilleur et le plus mauvais .

Imod

Du plus fort au plus faible:
6 3 2 1 à obtenir à partir de 3 3 3 3
On commence par ajouter 3 pts au 1er. On ôte en compensation 1 point aux 3 plus faibles:
6 2 2 2
Pour le second je dois ajouter 1, pour obtenir 3, on ôte 1 au plus faible en compensation.
6 3 2 1
C'est fini.
Si le plus faible est à son minima, on ôte au 1er autre plus faible auquel on peut ôter 1.

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par Imod » 31 Déc 2010, 13:25

Et qu'est-ce qui te dit que ton algorithme aboutit quelque soit la configuration proposée avec un bon total : c'est un peu la question ?

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Doraki
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par Doraki » 03 Jan 2011, 13:10

Je note (A > B) pour A bat B et (A = B) pour A et B font match nul.

Je propose de diminuer le nombre de matchs non nuls en changeant tous les cycles (A > B > C ... > A) par (A = B = C ... = A) et tous les (A > B ; A = C ; B > C) par des (A = B ; A > C ; B = C).

A la fin on obtient que la relation "bat" n'a pas de cycle et est transitive.
Il est alors clair que si A > B, alors A a un meilleur score que B vu qu'il bat tous ceux que B bat, et en plus, il bat B.

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par Imod » 04 Jan 2011, 01:13

C'est OK pour moi :++:

Pas aussi simple que ça en a l'air , bravo Doraki !

Imod

nodjim
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par nodjim » 04 Jan 2011, 20:39

J'ai du mal à comprendre le maintien des scores avec cette méthode.

nodjim
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par nodjim » 04 Jan 2011, 21:15

Euh...et on ne change pas les scores de chacun des joueurs par cette méthode ?

Doraki
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par Doraki » 04 Jan 2011, 23:30

Tu peux vérifier que les scores globaux sont bien sûr inchangés quand on fait ces transformations.

De plus, en partant d'un tournoi qui existe déjà, et pas en esquissant un algo pour obtenir les scores globaux, ça me permet d'éviter d'avoir à comprendre pourquoi l'algo va rater si on essaye d'obtenir par exemple des scores de 6, 5, 1, 0 pour un tournoi à 4 joueurs.

nodjim
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par nodjim » 05 Jan 2011, 20:21

D'accord, ça marche bien en effet. Il fallait y penser...

 

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