Normale sur ellipse

[Thy06]

Bonjour à tous

Je cherche à savoir comment calculer le point P', point de tangence sur une ellipse si l'on a :
- a et b, les rayons de l'ellipse
- les xy d'un point P situé en dehors de l'ellipse, qui doit passer par la normale

(Ou sinon, simplement trouver la tangente ou la normale (sous forme d'angle), le reste je sais le faire.)



Petite précision, je ne suis pas lycéen et je suis très limité en maths. J'ai plus besoin d'une formule que d'une piste pour trouver moi même. Cependant je veux bien comprendre.
J'arrive à résoudre le problème inverse. Trouver P, la normale, la tangente, à partir de P'.

Merci d'avance.

[Ericovitchi]

Si l'équation de l'ellipse est x²/a²+y²/b²=1 alors
l'équation d'une tangente en un point x0,y0 est xx0/a²+yy0/b²=1
l'équation de la normale au point x0,y0 est y-y0=(a²y0/b²x0) (x-x0)

Donc dans ton cas tu as en fait x et y et tu veux trouver x0 et y0 d'après ce que je comprends.

Donc tu as d'une part y-y0=(a²y0/b²x0) (x-x0) et d'autre part x0²/a²+y0²/b²=1 comme équation
Tu peux peut-être le résoudre en posant x0=acost, y0=bsint
Résoudre l'équation trigonométrique y-bsint=(a²bsint/b²acost) (x-acost) donc
(y-bsint)bcost =asint (x-acost)acost)
ou bien directement en substituant y0 dans l'équation de l'ellipse. Mais avec les lettres, les calculs sont un peu fastidieux.

[Thy06]

Merci Ericovitchi
J'essaie de comprendre :
on a 2 équations, l'ellipse et la normale qui nous intéressent. Elles ont en commun le point x0,y0 que j'appelle P' et que je recherche, et sur l'équation de la normale on a le point x,y qui est connu (P).
Apparemment il y a deux solutions ?
- trouver x0,y0 avec les deux équations à 2 inconnues (j'ai appris hier sur le net, qu'on pouvait résoudre une équation à 2 inconnues, si l'on disposait de 2 équations, donc on devrait pouvoir y arriver ? oui... les maths c'est loin pour moi !) je vais essayer de résoudre ça ce soir mais je ne sais pas si c'est à ma portée !
- ou trouver l'angle t, en remplaçant x0 et y0 par aCOS(t) et bSIN(t). Même s'il n'y a plus qu'une inconnue, je ne sais pas trop ce que je vais faire de : (y-bsint)bcost =asint (x-acost)acost, trop dur pour moi.

Mon raisonnement est juste ?
Autre précision, la formule sera utilisée en informatique.

[Ericovitchi]

oui c'est ça.
Sauf que tu as bien 2 équations à 2 inconnues mais il y en a une du second degré donc ça ne va pas être si simple que ça de faire le calcul théorique avec des lettres. D'ailleurs il y a des chances pour qu'en fait tu trouves 2 normales à l’ellipse passant par P (second degré oblige).

[Thy06]

oui c'est ça.
Sauf que tu as bien 2 équations à 2 inconnues mais il y en a une du second degré donc ça ne va pas être si simple que ça de faire le calcul théorique avec des lettres. D'ailleurs il y a des chances pour qu'en fait tu trouves 2 normales à l’ellipse passant par P (second degré oblige).

Oui ça va pas être facile pour moi, voire même impossible si je ne prends pas des cours de maths. Sinon, l'équation trigonométrique

(y-bsint)bcost =asint (x-acost)acost

y a moyen de la résoudre ? puisqu'on a a,b,x,y

[Ericovitchi]

l'équation trigo c'est (y-bsint)bcost =asint (x-acost)
donc ax sin t -by cos t = (a²-b²)sint cos t
il y a une façon théorique de résoudre ce genre d'équation, ça consiste à poser 2ax/(a²-b²) = cos p et 2by/(a²-b²) = sin p
et de la transformer en 2ax/(a²-b²) sin t - 2by/(a²-b²) cos t = 2sint cost
sin t cos p - sin p cos t = sin 2t donc en sin (t-p) = sin 2t
résoudre ça (en t-p = 2t ou t-p = pi - 2t donc t=p/3 et t=(p+pi)/3 )

[Thy06]

l'équation trigo c'est (y-bsint)bcost =asint (x-acost)
donc ax sin t -by cos t = (a²-b²)sint cos t
il y a une façon théorique de résoudre ce genre d'équation, ça consiste à poser 2ax/(a²-b²) = cos p et 2by/(a²-b²) = sin p
et de la transformer en 2ax/(a²-b²) sin t - 2by/(a²-b²) cos t = 2sint cost
sin t cos p - sin p cos t = sin 2t donc en sin (t-p) = sin 2t
résoudre ça (en t-p = 2t ou t-p = pi - 2t donc t=p/3 et t=(p+pi)/3 )

bon... je ne comprends plus grand chose !
si t-p = 2t
ou (et ?) t-p = pi - 2t
donc 2t= pi - 2t
alors t = pi/4
Bon je n'y suis pas je crois.
Mais c'est quoi "p" ?

[Ben314]

l'équation trigo c'est (y-bsint)bcost =asint (x-acost)
donc ax sin t -by cos t = (a²-b²)sint cos t
il y a une façon théorique de résoudre ce genre d'équation, ça consiste à poser 2ax/(a²-b²) = cos p et 2by/(a²-b²) = sin p
et de la transformer en 2ax/(a²-b²) sin t - 2by/(a²-b²) cos t = 2sint cost
sin t cos p - sin p cos t = sin 2t donc en sin (t-p) = sin 2t
résoudre ça (en t-p = 2t ou t-p = pi - 2t donc t=p/3 et t=(p+pi)/3 )

Il y a une petite erreur ici :
Il n'y a aucune raison que donc on ne peut pas "poser" et ...

Je ne suis pas certain qu'il soit interessant de résoudre "formellement" cette équation : elle est du 4em degrés (bon nombre de points du plan sont sur 4 normales différentes) et la résolution risque d'être nettement plus complexe qu'une approximation numérique (suffisante pour un usage informatique)

[benekire2]

J'arrive à résoudre le problème inverse. Trouver P, la normale, la tangente, à partir de P'.

Merci d'avance.

Salut !

J'ai du mal a saisir , tu peut pas trouver un seul P ...

[Thy06]

...
Je ne suis pas certain qu'il soit interessant de résoudre "formellement" cette équation : elle est du 4em degrés (bon nombre de points du plan sont sur 4 normales différentes) et la résolution risque d'être nettement plus complexe qu'une approximation numérique (suffisante pour un usage informatique)

Je sens que je vais résoudre ça de façon informatique, par boucle et recherche de la valeur. J'attendais une formule compacte, mais je vois que c'est très difficile.
Merci Ben314

...
J'ai du mal a saisir , tu peut pas trouver un seul P ...

Oui ça semble un peu bizarre !
Dans mon dessin, j'ai P et je recherche P'.
Si dans "t-p = 2t ", p = le P de mon dessin, je n'y comprends rien, car t est un angle d'après ce que j'ai compris, et P est un point avec un x et un y.
Je suppose que c'est plutôt un angle puisque dans le texte de Ericovitchi on trouve "...= sin p"
Mais dans ce cas il correspond à quoi ?

Je dis que j'arrive à résoudre le problème inverse (dans mon dessin), Trouver P, la normale, la tangente, à partir de P'. Pour cela j'ai trouvé différentes formules, par analyse graphique puis avec des fonctions trigo, sans l'aide d'équation de l'ellipse ou autres équations que je découvre maintenant. (niveau de maths 6ème ou moins :lol3: )