Commutabilité et vecteur propres

[youmew]

Bonsoir ,
J'ai eu un gros bug cette apres midi en ds :
on a f et g deux endomorphismes commutables (fog = gof)
question : montrer que les vecteurs propres de f sont ceux de g .
je précise que f est associé a une matrice diagonalisable mais pas inversible (0 valeur propre).

il manque une donnée a mon avis ..

[youmew]

Hello,

f et g sont dans L(E) où E est un k-ev de dimension finie?

oui E est de dimension finie
une piste ?

[Monsieur23]

Aloha,

Soit x vecteur propre de f associé à la valeur propre t.

Tu peux calculer fog(x) et gof(x) :-)

[youmew]

Aloha,

Soit x vecteur propre de f associé à la valeur propre t.

Tu peux calculer fog(x) et gof(x)

heum heum c'est ce que j'ai essayer de faire pendant au moins 20 minutes mais sans succès :mur:
gof(x) = g(tx)=t g(x)= fog(x) et puis a partir de la plus rien :marteau:
enfin c'est peut être que je butte sur un truc tout bête

[youmew]

Ouaip,

Soit x dans E, tel que x soit vecteur propre de f, alors :
il existe l dans K tel que f(x)=l*x

on applique g, g(f(x))=l*g(x)
et donc f(g(x))=l*g(x)

et après...

par pitiée je n'y arrive pas tout ce que je peux dire c'est que g(x) est vecteur propre de f mais moi ce que je veux c'est x vecteur propre de g ..

[Harchy]

Salut

Dans le théorème de diagonalisation simultanée, il faut que f et g soient diagonalisables et commutent.
Ton hypothèse manquante ne serait-elle pas que g est diagonalisable ?

[youmew]

Salut

Dans le théorème de diagonalisation simultanée, il faut que f et g soient diagonalisables et commutent.
Ton hypothèse manquante ne serait-elle pas que g est diagonalisable ?

voila le sujet:



je dois avouer aussi que je n'ai vraiment aucune idée de ce que sont des endomorphismes simultanément diagonalisables , je ne sais même pas si c'est au programme de mp puisque je n'ai rien de tel dans mon cours sur les valeurs/vecteurs propres
et puis tant qu'a faire j'aimerais bien savoir qu'est ce que sa veut dire avoir deux "equations équivalentes" - j'ai jamais entendu sa non plus :hum:

[Monsieur23]

Ha..

Ici, les multiplicités des valeurs propres de f sont toutes 1.

Donc g(x) est vecteur propre de f associé à t, donc g(x) est dans le sous espace propre de f associé à t.

Donc.. ?

[Harchy]

L'endomorphisme f possède trois valeurs propres distinctes (en dim 3 ), et c'est sur ce point qu'il faut travailler pour résoudre la question 2.
Les deux endomorphismes seront dits simultanément diagonalisables s'il existe une base au sein de laquelle ils sont tous deux diagonalisables.

[youmew]

Ha..

Ici, les multiplicités des valeurs propres de f sont toutes 1.

Donc g(x) est vecteur propre de f associé à t, donc g(x) est dans le sous espace propre de f associé à t.

Donc.. ?

effectivement en raisonnant avec l'ordre de multiplicité qui vaut 1 :
on a g(x) et x qui appartiennent a l'espace propre Et de dimension 1 ils sont donc colinéaires

merci en tout cas pour votre patiente et de la vitesse de vos réponses

en ce qui concerne deux endomorphismes simultanément diagonalisable j'imagine qu'il suffit d'utiliser la même matrice de passage pour trouver les matrices diagonales.

Je n'arrive toujours pas a comprendre la question 4b) , équations équivalentes ?

[Monsieur23]

Ben tu peux diagonaliser A et M dans la même base, par exemple avec la matrice de passage P.

Et puis tu multiplies ton équation par P à droite, P^-1 à gauche, et pouf ! (l'équivalence vient du fait que P inversible).

[youmew]

ok je vous remercie beaucoup grâce a vos explications j'ai tout compris :D