Structures algebriques

[Anonyme]

Bonsoir,

J'ai commencé a lire un peu les caractéristique des structures algébriques usuelles et j'ai quelques questions:

1- Comment démontrer que: ab=0 <===> (a=0 ou b=0) ? j'ai essaye de le faire et il me semble que cela ne découle pas des définitions.

2- Dans la définitions des corps il est dit que tout élément non nul est inversible. Ma question est : Est ce que c'est le fait d’être un élément neutre de "+" qui rend le "0" non inversible ?

3- Y a t-il d'autres corps que C, R et Q ?
Merci

[girdav]

1. C'est le rôle des anneau intègres.
2. 0 fois quelquechose =0 donc 0 ne peut avoir d'inverse à moins de valoir 1, mais je crois que c'est exclu (après ça peut dépendre des auteurs).
3. Oui, même beaucoup d'autres. Je ne sais pas si tu es familier avec la notion de quotient, sinon pour tout nombre premier est un corps.

[benekire2]

Bonsoir,

J'ai commencé a lire un peu les caractéristique des structures algébriques usuelles et j'ai quelques questions:

1- Comment démontrer que: ab=0 (a=0 ou b=0) ? j'ai essaye de le faire et il me semble que cela ne découle pas des définitions.

2- Dans la définitions des corps il est dit que tout élément non nul est inversible. Ma question est : Est ce que c'est le fait d’être un élément neutre de "+" qui rend le "0" non inversible ?

3- Y a t-il d'autres corps que C, R et Q ?
Merci

re !

3. Oui , tout plein !! genre Z/pZ etc ...
1. Ce que tu veut c'est montrer que tout anneau est intègre ... c'est faux !! Attention toutefois a tes notations, chez mloi si tu situe pas où on est , l'absence de point, astérixe ... signifie qu'on est dans un groupe que 0 est le neutre et donc bah tu peut avoir par exemple dans Z, a+b=0 sans avoir a=0 ou b=0
Pour un anneau non intègre : Z/nZ (n non premier) ou l'anneau des matrices carrés a coef dans K
2. Je ne suis pas sûr de comprendre ta question ...

Grillé par Girdav qui a compris la 2 en plus

[Anonyme]

Merci a tous les deux.

En fait pour la 2/ voulais savoir si en général l’élément neutre de "+" n'avait pas un inverse par rapport a "x" si "x" est distributive par rapport a "+". En gros si cela découlais des définition et si l'on peut s'en sortir sans revenir a la définition intuitive de la multiplication.

Au fait benekire dans quel bouquin tu as commence les structure algébrique ?

[benekire2]

Merci a tous les deux.

En fait pour la 2/ voulais savoir si en général l’élément neutre de "+" n'avait pas un inverse par rapport a "x" si "x" est distributive par rapport a "+". En gros si cela découlais des définition et si l'on peut s'en sortir sans revenir a la définition intuitive de la multiplication.

Au fait benekire dans quel bouquin tu as commence les structure algébrique ?

J'ai commencé chez Bkristof , très bien je trouve. Au début je trouve que c'est mieux de s'en tenir "au définitions" les exos (du même site) te permettrons d'aller (un peu) plus loin. Ensuite prend un cours de spé sur "les compléments d'algèbre générale" et là tu commencera a apprendre vraiment je pense.

[Nightmare]

Bonsoir,

1- Comment démontrer que: ab=0 (a=0 ou b=0) ? j'ai essaye de le faire et il me semble que cela ne découle pas des définitions.

Sur quelle structure est-on? Si on est sur un corps, alors le caractère intègre vient du fait que tout élément non nul est inversible, puisqu'alors si ab=0 et que a est non nul, donc .

[benekire2]

Sur quelle structure est-on? Si on est sur un corps, alors le caractère intègre vient du fait que tout élément non nul est inversible, puisqu'alors si ab=0 et que a est non nul, donc .

Aller un petit résultat marrant pour Qmath : Tout anneau A intègre fini est un corps.

Considérons l'application A --> A , x -->ax avec a un élément non nul de A. L'intégrité montre que l'application est injective, donc bijective et que donc il existe x€A tel que ax=1 , c'est à dire un inverse a droite de a. Tu montre de même que a a un inverse a gauche ...
(en fait dans un anneau fini si un élément a un inverse a droite alors il est inversible)

Un exo a stuces que j'ai fais était :
Soit A un anneau non nécessairement commutatif.
Montrer que si x, élément de A admet deux inverses à droite (pour la seconde loi) alors il en admet une infinité.

Marrant ...

[Nightmare]

Aller un petit résultat marrant pour Qmath : Tout anneau A intègre fini est un corps.

Est-ce que tout anneau A fini et sans diviseurs de 0 est un corps? :lol3:

[benekire2]

Est-ce que tout anneau A fini et sans diviseurs de 0 est un corps? :lol3:

Bah tu vient de dire la même chose non ?

[Nightmare]

non :lol2: Et ça complexifie d'ailleurs assez la chose.

[benekire2]

a oui on a perdu la commutativité ... j'avais omis que ça faisais partit de la définition de l'intégrité. Mais ça change rien pour moi, comme je l'ai suggéré a Qmath montrer que dans un anneau fini l'inversibilité a droite est équivalente a l'inversibilité est pas dur.

[Nightmare]

Oui mais ça ne permet plus de conclure ! A vrai dire je n'ai pas d'idée d'anneau fini qui n'admet aucun diviseurs de 0 mais qui n'est pas un corps. Déjà, l'idée d'un anneau non commutatif qui n'admet aucun diviseurs de 0 ce n'est pas évident... Tu en vois un ?

[Nightmare]

En même temps c'est idiot, si on arrive à exhiber un anneau fini non commutatif sans diviseurs de 0, ce ne pourra être un corps puisque fini, il serait commutatif.

[AL-kashi23]

Pour les éventuels amateurs, je ne m'en souviens plus vraiment en détail (pas du tout même) mais la démonstration du théorème de Wedderburn (corps fini => commutatif) n'est pas si simple mais assez instructive.

[benekire2]

Pour les éventuels amateurs, je ne m'en souviens plus vraiment en détail (pas du tout même) mais la démonstration du théorème de Wedderburn (corps fini => commutatif) n'est pas si simple mais assez instructive.

Salut !

Il me semble que l'une des démos utilisent les polynômes cyclotomiques (sur lesquels j'avais "travaillé" sur un exo de Zweig) , cela dit la démo était assez stone pour l'époque et il semble que je doive encore attendre :zen:

Nightmare > Oui en effet, ton argument est simple (quoi que ... Wedderburn quand même) , mais je ne pense pas que ça change quelque chose sur ce que j'ai dit , j'arrive a montrer que si un anneau (on se fiche de la commutativité) A fini est sans diviseurs de 0 alors A est un corps. Je crois toujours que la preuve du message s'adressant a Qmath tient toujours :zen:

[Nightmare]

Oui c'est clair c'est que tout anneau fini et sans diviseurs de 0 est un corps, donc commutatif quoi qu'il en soit. Ce que l'on cherche à présent, c'est un anneau non commutatif infini sans diviseurs de 0 et qui ne soit pas un corps.

[benekire2]

Ah d'accord :we: En fait je viens de comprendre le sens complet de ta première question ... je suis long :ptdr:

[Anonyme]

Par sans diviseur de 0 vous entendez quoi ? (c'est bizarre comme expression)

[Nightmare]

Qmath > Un diviseur de 0 est un élément a tel que ab=0 pour un certain élément b.

Par exemple, modulo 6, 2 et 3 sont des diviseurs de 0 car 2x3=0 (mod 6)

[benekire2]

Enffin, dans la définition de nightamare il faut bien sûr que a et b soient non nuls sinon ça n'a que peu d'intérêt ... Sinon nightmare pour comprendre la démo du théorème (j'ai pas trop regardé depuis la dernière fois ... (il y a longtemps)) , il faut savoir quoi ?

Merci :lol3: