Exercice exponentielle

par **Help-me33** » 02 Jan 2011, 14:53

Bonjour a tous,
J'ai besoin d'aide par rapport a un exercice dans mon DM.
J'ai fais quelques questions deja, mais certaines sont trop compliquées, il me semble même qu'on ne les a pas encore vu...

Soit l'équation différentielle (E) : 2y - y' = (e^2x)/x² . On cherche les solutions de (E) définies sur ]0;+infini[

1a) Vérifier que la fonction x---> u(x) = (e^2x)/x est solution particulière de (E) ( question faite mais je doute de mon résultat, j'ai trouvé que ce n'en était pas une.. )
1b) Montrer qu'une fonction v définie sur ]0;+infini[ est solution de (E) si et seulement si la fonction v-u définie sur ]0;+infini[ est solution de (E') : 2y - y' = 0 ( question faite )
1c) En déduire toutes les solutions définies sur ]0;+infini[ de (E)

2) Déterminer la solution f de (E) dont le coefficient directeur de la tangente a sa courbe représentative au point d'abscisse 1 est -e² ( je n'ai pas réussi a la faire donc ca me bloque pour les 3 questions suivantes)

3a)Etudier les limites de f en 0 et en +infini
3b) Etudier les variations de f
3c) Montrer que l'équation f(x)=-1 a dans ]0;+infini[ une seule solution alpha et déterminer une valeur approchée de alpha a 10^-2 près par défaut

4) Pour tout réel k négatif ou nul, on considère les fonctions fk définies sur ]0;+infini[ par fk= ((kx+1)/x) X (e^2x)
4a) Déterminer les limites de fk en 0 et en +infini selon les valeurs de k ( j'ai trouvé en 0: +infini et en +infini : 0 )
4b) Calculer f ' k (x) pour x E ]0;+infini[ et determiner le nombre de solutions de f ' k (x) = 0 selon les valeurs de k

Merci d'avance.

par **XENSECP** » 02 Jan 2011, 18:41

Si la 1a) est pas bien faite j'ai peur de la suite.

Montrer que c'est une solution particulière, c'est juste remplacer y par u(x) et voir si tu vérifies l'équation.

Juste par curiosité (car le problème vient certainement de là), donne nous ton expression de u'(x) que tu as calculé ?

par **Help-me33** » 02 Jan 2011, 19:01

u'(x) = (2xe^(2x) - e^(2x) ) / x²

Est-ce que c'est bon ?

par **Help-me33** » 02 Jan 2011, 19:06

je trouve que ce n'est pas solution car ca fait -e^2 = e^2

par **XENSECP** » 02 Jan 2011, 19:08

Help-me33 a écrit:je trouve que ce n'est pas solution car ca fait -e^2 = e^2

Je sais pas comment tu arrives à ce résultat mais moi ça s'arrange très bien !

par **Help-me33** » 02 Jan 2011, 19:10

Comment avez vous fait ? J'ai pourtant bien remplacé y par u(x)..

par **Help-me33** » 02 Jan 2011, 19:14

Enfait c'est bon, histoire de signe ... Désolé

par **XENSECP** » 02 Jan 2011, 19:16

Pour la 1c), tu sais résoudre (E') donc tu as toutes les solutions de (E)

par **Help-me33** » 02 Jan 2011, 19:25

OUI, j'ai reussi la 1c) aussi merci.

Par contre la question 2 reste un mystere

par **XENSECP** » 02 Jan 2011, 19:29

"2) Déterminer la solution f de (E) dont le coefficient directeur de la tangente a sa courbe représentative au point d'abscisse 1 est -e² "

Bah ça veut simplement dire que f'(1) = -e²

Tu peux donc trouver la constante que tu avais précédemment :)

par **Help-me33** » 02 Jan 2011, 19:31

Je comprend vraiment pas, car on peut pas trouver f .. enfin je n'y arrive pas ^^

par **Help-me33** » 02 Jan 2011, 19:45

Enfait c'est bon, j'ai trouvé que f = u
f(x) = (e^(2x)) / x

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