Anneaux commutatifs

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Bonjour, cette fois c'est sur les anneaux que je bloque. Et pourtant, là je suis sûr que ce n'est pas très difficile...

a et b 2 réels
E=R², + et X deux lois de composition internes sur E telles que:
(u1, v1) + (u2, v2) = (u1+u2, v1+v2)
(u1, v1) X (u2, v2) = (u1u2 + av1v2 , u1v2 + u2v1 + bv1v2)

1) Montrer que (E, +, X) est un anneau commutatif.
Là j'arrive à le faire
2)Déterminer les diviseurs de zéro. Et là par contre je n'en trouve pas; j'ai beau essayer de résoudre un système, pour obtenir (0,0), mais je n'arrive pas à aboutir. Pourriez-vous m'expliquer la démarche à adopter ?

3) A quelle condition (E, +, X) est un corps ? Montrer dans ce cas que E est isomorphe au corps des nombres complexes.
Pour moi, c'est un corps si c'est un anneau intègre, ou si commutatif, tous les éléments sont inversibles sauf 0. Mais je ne sais pas comment montrer l'isomorphisme, même si je le conçois plus ou moins.

mERCI DE VOTRE AIDE

[Nightmare]

Salut,

tu cherches les couples (x,y) et (r,s) tels que et ceci fournit le système

En fixant r et s , tu peux résoudre ce système qui est alors un système de deux équations à deux inconnues en x et y. Tu trouveras alors toutes les "paires" de diviseurs de zéros.

[Impiger]

oui, mais quand je résoud ce système , j'obtiens la solutiion triviale (0,0) que faire ?