Une remarque supplémentaire :
La preuve ci-dessus est valable en fait dans tout espace complet, ce qui permet de donner une des versions du théorème du point fixe :
Dans un espace complet, toute application contractante admet un unique point fixe.
Exemple :
prenons pour espace complet l'ensemble des applications continues sur un compact de R à valeurs dans R^n.
Notons que l'équadiff y'=f(y,t) s'écrit aussi, si on rajoute la condition initiale y(0)=y0 :
.
On prend alors l'application G qui à une fonction y associe la fonction Gy définie par
.
Sous les hypothèses habituelle de Cauchy Lipschitz, G s'avère contractante, et on montre ainsi l'existence d'un point fixe à G, ie d'une solution à l'équadiff avec ses conditions initiales.
On montre ainsi l'existence et l'unicité locale d'une solution.
(Pour l'existence d'une solution maximale, on fait intervenir la connexité).
voili voilou