Point fixe

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
pozor16
Membre Naturel
Messages: 34
Enregistré le: 30 Avr 2006, 19:04

point fixe

par pozor16 » 04 Mai 2006, 14:30

Soit g : ;) dans ;) une application satisfaisant la condition de Lipschitz suivante :

Il existe c appartenant à R(les réel) tel que 0<c<1 et pour tout z[SIZE=1]1
, z2 appartenant à ;),

|g(z1)-g(z2)| ;) c.
|z1 – z2|

Montrer que g possède un unique point fixe dans ;). Ce point fixe peut-être construit par itération à partir d’un poit z0 appartenant à ;) quelconque, en posant zi+1 = g(zi)[/SIZE]



serge75
Membre Relatif
Messages: 432
Enregistré le: 06 Avr 2006, 00:31

par serge75 » 04 Mai 2006, 15:31

Aolors, on va faire en deux temps : d'abord l'existence puis l'unicité.
Pour l'existence :
Je prends quelconque, et je définis par récurrence une suite par .
On va tenter de montrer que la suite est de Cauchy. Pour cela, je regarde la quantité .
Regardons d'abord . Par une récurrence évidente j'ai .
Puis .
On a compris et on itère pour obtenir finalement :
.
Un petit coup de somme géométrique :
(on rappelle que )
Cette dernière majoration est valide pour tout p et tend vers 0 quand n tend vers l'infini. On a bien montré que la suite est de Cauchy, et à ce titre converge donc vers un réel x.
Comme g est continue (car Lipschitzienne), en faisant tendre n vers l'infini dans la relation , on obtient donc .
L'existence est démontrée.

serge75
Membre Relatif
Messages: 432
Enregistré le: 06 Avr 2006, 00:31

par serge75 » 04 Mai 2006, 15:34

Pour l'unicité :
si et .
Alors comme on sait que , on a donc . Si x et y étaient distincts on pourrait diviser par |x-y| et on obtiendrait , ce qui est absurde.
Cqfd

serge75
Membre Relatif
Messages: 432
Enregistré le: 06 Avr 2006, 00:31

par serge75 » 04 Mai 2006, 15:43

Une remarque supplémentaire :
La preuve ci-dessus est valable en fait dans tout espace complet, ce qui permet de donner une des versions du théorème du point fixe :
Dans un espace complet, toute application contractante admet un unique point fixe.

Exemple :
prenons pour espace complet l'ensemble des applications continues sur un compact de R à valeurs dans R^n.
Notons que l'équadiff y'=f(y,t) s'écrit aussi, si on rajoute la condition initiale y(0)=y0 :
.
On prend alors l'application G qui à une fonction y associe la fonction Gy définie par .
Sous les hypothèses habituelle de Cauchy Lipschitz, G s'avère contractante, et on montre ainsi l'existence d'un point fixe à G, ie d'une solution à l'équadiff avec ses conditions initiales.
On montre ainsi l'existence et l'unicité locale d'une solution.
(Pour l'existence d'une solution maximale, on fait intervenir la connexité).
voili voilou

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 22 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite