Il était une fois, une équation...

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
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Lostounet
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par Lostounet » 13 Déc 2010, 00:18

Donc, si j'ai bien compris:

On a:




Posons

Ainsi,

|x| > 1
8|x| > 8

Donc: 8|x| > 1


D'autre part:


Remarquons que:


(On peut élever au carré, les deux membres sont positifs)




Or le produit de trois facteurs supérieurs à 1 est supérieur à 1.

On engendre ainsi une contradiction. L'hypothèse de départ |x| > 1 est donc fausse. Donc |x| < 1

(En vérifiant aussi que 1 n'est pas solution)
C'est bon?
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Zweig
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par Zweig » 13 Déc 2010, 00:20

Ouep, maintenant fais la substitution trigonométrique et arrive à la factorisation de Benekire ;-)

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Lostounet
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par Lostounet » 13 Déc 2010, 00:24

D'accord.
Mais pourquoi as-tu dit que -1 < x < 1?

|x| < 1
Signifie que 0 < |x| < 1 Non?
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Euler07
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par Euler07 » 13 Déc 2010, 01:05

Non |x| < 1 signifie que -1 < x < 1

Car |x| < 1 donne |x-0| < 1 et comme la distance de 0 à x est inférieur à 1 on à l'intervalle ]-1,1[

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Ben314
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par Ben314 » 13 Déc 2010, 02:07

Zweig a écrit:en utilisant le fait que
En plus, sans vouloir faire le mesquin, ce qu'il y a à gauche du = vaut clairement 1 lorsque x=1 et... pas ce qu'il y a à droite du = ... :cry:
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Zweig
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par Zweig » 13 Déc 2010, 12:14

Oui j'ai écrit de la grosse m***e ... :doh: :doh:

....

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Lostounet
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par Lostounet » 16 Déc 2010, 19:43

Euh.. J'avais pas vérifié :$

Ça change quelque chose?

(2|x|^2 - 1)^2 - 1 > 0

Donc oui, ça change :triste:
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Zweig
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par Zweig » 16 Déc 2010, 20:33

T'as oublié le "2" devant le facteur, ce qui change la donne puisqu'alors l'expression est supérieure à 1.

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Lostounet
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par Lostounet » 16 Déc 2010, 22:05

Zweig a écrit: ....


|x| > 1

2(2|x|^2 - 1)^2 - 1 > 1

C'est bon..
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Zweig
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par Zweig » 17 Déc 2010, 01:29

Maintenant le reste !

mistou26
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par mistou26 » 31 Déc 2010, 02:57

"Petite astuce" ... est quand même un peu un euphémisme pour qualifier le moyen de simplifier 8cos(a)cos(2a)cos(4a)=1 ... non ?
Personnellement j'ai "ramé" 4 jours avant de la trouver cette "petite" astuce ... !
Mais, comme toujours, après coup .. ça a l'air évident ... LOL

Zweig
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par Zweig » 31 Déc 2010, 03:24

Quand je disais "petite astuce" cela signifiait qu'elle était beaucoup moins parachutée que toutes celles que l'on rencontre dans les exercices olympiques. Ici, le raisonnement à avoir est "clair" et simple. Bien sûr, ça reste une astuce, càd qu'il faut voir les choses (et accessoirement, bien connaître ses formules de trigo) ...

Ici il fallait voir que



Or , d'où l'idée de multiplier par des deux côtés, et par "effet domino", on obtient une bête équation en sinus.

benekire2
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par benekire2 » 31 Déc 2010, 13:10

Bien sûr moi je qualifie ça "d'astuce" mais , je la trouve quand même assez "visible" pour une fois, elle tombe pas de nulle part. C'est vrai que en comparaison de certains exercices d'imo je comprendrais ceux qui disent qu'il n'y a pas d'astuce ... l'astuce est au début pour moi, reconnaître les polynômes de Tcheby.

mistou26
Membre Naturel
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par mistou26 » 31 Déc 2010, 19:32

Ma remarque n'avait rien de critique ..
Elle souligne juste que le difficulté de résolution d'un problème est très relative ..
Par exemple, pour moi, le changement de variable x=cos(a) m'a paru quasiment évident à cause du 2*X^2-1 .. identitfié presque immédiatement à un cos(2a) = 2*cos(a)^2 -1.
C'est assez troublant de penser que j'ai mis quatre jours à "voir" son pendant:
sin(2a) = 2*sin(a)*cos(a).
ce qui est très interressant, en ce que ça questionne sur la notion d'intuition ...
Autre exemple, l'idée de "voir" et démontrer que les solutions éventuelles étaitent <= 1 en valeur absolue .. ne m'a même pas éfleuré au début ... et pusique la méthode fournit les 7 solutions ... d'une équation de dégré 7 ... n'est-ce pas !!
De plus, je ne regrette absolument pas d'avoir "ramé": j'ai beaucoup aimé ce problême ...
Merci à Lostounet !

 

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