Convergence série de fonctions

[romtherekins]

Bonjour,

J'ai des difficultés avec ces exercices il faudrait que je sache bien les résoudre ...



Pour la première question de l'exercice 1 c'est bon !

Pour le 2 j'isole 1/n fois la somme de (k+n) / (k²/n + n)

J'arrive jusqu'à 1/n fois la somme de kn + n² / k² + n²

Je vois pas comment faire le changement de variable du genre t = k/n ou autre chose !?



Ensuite pour l'exercice 2 ....

En 0 pas de problème pour étudier la convergence simple vers la fonction f(x) = 1.
Par contre pour x > 0 je vois pas quoi dire à part fn(x) inférieur ou égale à 1 (mais 1 n'est pas le terme générale d'une série convergente !?)
La somme aucune idée ...

Question 2 ça revient au même valeur absolue de fn(x) = fn(x) pour tout x positif ou nul donc même problème peut-on la comparer à 1 !?


Merci d'avance en pleine révision c'est dur de bloquer comme ça !

[XENSECP]

Pour l'exercice 1, il faut utiliser un théorème (j'ai oublié le nom de puis ma taupe) qui te permet de dire que ça tend vers l'intégrale de la question d'avant.

[girdav]

Bonjour,
pour l'exercice 1 et la somme de Riemann, tu peux factoriser le numérateur par et le dénominateur par .

[romtherekins]

Ah effectivement merci je partais sur le mauvais chemin on arrive donc à 1/n fois la somme de 1 + (k/n) / 1 + (k/n)² soit lim quand n tend vers +infini = : (en posant t = k/n)

intégrale de 0 à 1 de (1 + t) / (1 + t²) ce qui revient au même calcul que la question 1 dont la primitive est arctan(t) + ln (1+t²)


Merci à vous c'est bien compris pour le 1 pouvez vous m'aider pour le second exercice ?

[girdav]

Ensuite pour l'exercice 2 ....

En 0 pas de problème pour étudier la convergence simple vers la fonction f(x) = 1.
Par contre pour x > 0 je vois pas quoi dire à part fn(x) inférieur ou égale à 1 (mais 1 n'est pas le terme générale d'une série convergente !?)

Attention on parle de la série de fonction et non de la suite de fonctions. Comme en le terme général vaut toujours la série diverge. Pour , tu as une série géométrique.

[romtherekins]

Pourquoi ... J'ai fais une confusion entre suite et série !?

Je vois pas pour x>0 où est la série géométrique puisqu'on a une exponentielle

[girdav]

Oui, la suite converge bien vers mais pas la série.
On peut écrire .

[romtherekins]

Ah effectivement alors ça fait très très longtemps que je confonds .... Donc si j'avais fais cette méthode et que j'avais trouvé fn(0) = 0 est-ce que j'aurais pu dire que la série converge ? Ou alors il faut toujours une comparaison pour les séries et cette méthode ne marche que pour les suites ?

Et du coup merci on trouve donc valeur absolue de e^(-x) < 1 comme série géométrique donc la série converge simplement pour x > 0.

Pour la somme je sais simplement que c'est f = série de fn(x) et que pour la série x^n c'est 1/1-x mais là avec e^(-x) à la place du x il suffit de remplacer pour avoir 1/1-e(^-x) ???

Pour la 2) puis-je dire que valeur absolue de fn(x) est égale à fn(x) qui est convergente (Cf 1)) pour tout x > 0 donc pour tout a > 0 donc elle est normalement convergente ?

[girdav]

Ah effectivement alors ça fait très très longtemps que je confonds .... Donc si j'avais fais cette méthode et que j'avais trouvé fn(0) = 0 est-ce que j'aurais pu dire que la série converge ?

Si pour tout alors la série de terme général converge trivialement, je ne vois pas ce qu'il y a à ajouter.

Pour la somme je sais simplement que c'est f = série de fn(x) et que pour la série x^n c'est 1/1-x mais là avec e^(-x) à la place du x il suffit de remplacer pour avoir 1/1-e(^-x) ???

Presque, puisque la somme commence à .

Pour la 2) puis-je dire que valeur absolue de fn(x) est égale à fn(x) qui est convergente (Cf 1)) pour tout x > 0 donc pour tout a > 0 donc elle est normalement convergente ?

Non, la convergence normale est plus subtile. Il faut regarder si la série de terme général est convergente.

[romtherekins]

La somme commence à 1 ... Je vois pas !?

Pour la convergence normale je crois que j'ai compris ça fait donc :

Pour tout x supérieur ou égale à a avec a strictement positif :

-na supérieur ou égal à -nx
d'ou e^(-na) supérieur ou égal à e^(-nx)

d'ou valeur absolue de fn(x) inférieur ou égale à e^(-na) qui est série géométrique convergente donc valeur absolue de fn(x) est convergente par comparaison

=> fn(x) est normalement convergente pour tout a de a +infini c'est juste comme raisonnement ?

Merci pour votre aide en tous les cas ! Si vous pouvez me renseigner pour la somme et je vais m'attaquer aux questions 3 et 4.

[girdav]

Il est écrit .
Je suis d'accord pour l'histoire de la convergence normale. Tu peux aussi regarder s'il y a convergence normale sur .

[romtherekins]

Oui mais pour n = 1 le terme n'est pas défini puisque ça fait 1 - 1 au dénominateur !?

Pour la convergence normale sur R+ ça revient à étudier la convergence normale sur [a;+infini[ et dire qu'en x = 0 il n'y a pas convergence normale car le terme général de valeur absolue de fn(x) est 1 en 0 ?

[girdav]

Vu que je ne vois pas de quel dénominateur tu parles.
Pour la convergence normale sur , il faut regarder la nature de la série de terme général . Je ne vois pas ce que tu veux dire par "convergence normale en ".

[romtherekins]

Ah oui pour la somme j'ai inversé les n et les x ... Donc f = e^(-x) + 1 / 1 - e^(-x) ?

Pour la convergence normale l'énoncé dit : en R+ et en a +infini. Pour a +infini c'est vu mais pour R+ il faut bien étudier aussi en 0 qui est un cas particulier puisque la série n'est pas simplement convergente en 0 ...

[girdav]

Ah oui pour la somme j'ai inversé les n et les x ... Donc f = e^(-x) + 1 / 1 - e^(-x) ?

Non le terme pour vaut donc c'est .

Pour la convergence normale l'énoncé dit : en R+ et en a +infini. Pour a +infini c'est vu mais pour R+ il faut bien étudier aussi en 0 qui est un cas particulier puisque la série n'est pas simplement convergente en 0 ...

Oui, c'est bien le point qui va faire que l'on a pas convergence normale sur tout , puisque pour tout .