Fonction exponentielle, équations différentielles

[adzoline]

Bonjour j'ai un exercice de mon DM où je suis bloquée...
Voilà l'exercice :

Soit h la fonction définie sur R par
Soit (E) l'équation différentielle

1/ Déterminer l'ensemble des primitives H de h.
2/ Soit une fonction définie et dérivable sur R et soit f la fonction définie sur R par
a) Montrer que est solution de (E) si et seulement si f est une primitive de la fonction k définie sur R par [c'est à dire que pour tout f'(x)= ]
b) En déduire l'ensemble des fonction f puis l'ensemble des fonctions solution de (E)
c) Déterminer la solution ~ de (E) telle que ~

Je suis bloquée à la question 2/b) : je ne sais pas si il faut faire une démonstration et un "réciproquement". J'ai trouvé qu'en supposant que f est une primitive de k, est solution de (E).
Ensuite pour prouver le réciproquement, il faudrait que je multiplie par ... mais je suis pas sure que ce soit correct.
Aidez moi s'il vous plaît !

[XENSECP]

Encore 1 ? T'es pas en train de te débarrasser de tout ton DM par hasard...?

[adzoline]

Non, bien sur que non, j'ai mis l'exercice en entier pour que vous ayez tout sous les yeux.
Et puis il n'y a pas que ces deux exos, les autres je les ai réussi, c'est seulement ces questions ça fait longtemps que je cherche , mais je n'y arrive vraiment pas...

[XENSECP]

Or tu as déterminé l'ensemble des primitives de h donc tu peux retrouver f(x) en intégrant la relation (attention à la constante)

[adzoline]

H(x)= - +C (C )

Donc f(x) = e H(x)
f(x) = -

Mais on est censé commencer de l'équation différentielle (E) puis arriver à l'expression de f(x), non ?

[XENSECP]

Tu mets la constante dans H(x) mais tu la réécris pas dans f(x)...

C'est d'ailleurs cette constante qui te définit un "ensemble de fonctions f" :)

[adzoline]

oups ! ah oui vous me l'aviez dit en plus...
Du coup ça donne +C

Maintenant que j'ai montré que si f est primitive de k, est solution de (E), et je dois montrer que si est solution de (E), f est primitive de k, c'est ça ?
le problème c'est qu'en partant de l'équation différentielle, je n'arrive pas à retomber sur l'expression de f(x)...

[XENSECP]

oups ! ah oui vous me l'aviez dit en plus...
Du coup ça donne +C

Attention c'est pas le même C qu'avant hein

Maintenant que j'ai montré que si f est primitive de k, est solution de (E), et je dois montrer que si est solution de (E), f est primitive de k, c'est ça ?
le problème c'est qu'en partant de l'équation différentielle, je n'arrive pas à retomber sur l'expression de f(x)...

Tu en es à la 2a ou la 2b ?? Parce que moi je t'ai dis pour la 2b)... Et quand tu as f(x) tu as

[adzoline]

oulà je suis vraiment désolée effectivement j'en suis à la 2a...

[XENSECP]

2/ Soit une fonction définie et dérivable sur R et soit f la fonction définie sur R par
a) Montrer que est solution de (E) si et seulement si f est une primitive de la fonction k définie sur R par [c'est à dire que pour tout f'(x)= ]

Dans le premier cas tu dis que est solution de (E) (tu as donc une relation entre et )...

En simplifiant tu arrives normalement à l'expression

Dans le deuxième cas, tu pars de f(x) et f'(x) en fonction de h et . Et ensuite tu calcules

[adzoline]

J'ai réussi le 1er cas :

Dans le premier cas tu dis que est solution de (E) (tu as donc une relation entre et ')...
En simplifiant tu arrives normalement à l'expression

merci beaucoup =)

par contre le deuxième cas je comprend pas du tout... Je ne pense pas qu'il faille remplacer les dans l'équation différentielle par les f(x), si?

Et une question peut-être bête, est-on obligé de faire le deuxième cas ? parce que on a déjà montré que si f est primitive de k, est solution de (E), on vient de montrer que si est solution de (E), f est primitive de k (que )
On a démontré l'équivalence, je ne comprend pas le deuxième cas.

[XENSECP]

Si tu as démontré avec de réelles équivalence à chaque étape... ok.

Sinon bah ça mange pas de pain de le faire dans l'autre sens hein?

[adzoline]

ok :
Supposons que est solution de (E) et montrons f est une primitive de de k :
on part de
et on arrive à

Réciproquement, on suppose que f est une primitive de k et on montre que est solution de (E)
Là on part de
Et on arrive à

Donc est solution de (E) si et seulement si f est une primitive de la fonction k définie sur R par

C'est ce que vous demandiez ou je suis à côté ?

[XENSECP]

C'est exactement ça ! (et merci beaucoup pour l'effort LaTeX que peu de posteurs font !)

Mais concrètement tu l'as fait non ?

[adzoline]

Oui bien sur !! Et merci beaucoup pour votre aide !! bonnes fêtes