étude fonction rationnelle.

[chupetta-972]

Bonjour tout le monde
Alors voila , j'ai un exercice sur lequel je bloque pas mal et j'aimerais bien un peu d'aide x)

Soit la fonction f définie sur R\{-1} par

f(x)= ( x(au cube) +3x²+5x+5 ) / (x+1)²
1- Démontrer qu'il existe une fonction g définie sur R\{-1} telle que f(x)= x+1+g(x)
et que g(x) tend vers 0 lorsque x tend vers +infini ou - infini.

2-a. Vérifier que (x-1)(x²+4x+5)= x(au cube)+3x²+x-5
b. Calculer la dérivée de la fonction f et étudier son signe en utilisant a.
c. Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition, puis conclure
en dressant le tableau de variations de f.
3- On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.
a.Démontrer que C possède une assymptote D parallèle à l'axe des ordonnées et une assymptote oblique Delta.
b. Etudier la position relative de C et Delta. Tracer C , D et Delta.

Alors, je bug pour la question 1, je ne sais pas comment débuter la démonstration je ne sais pas comment faire...

_La question 2.a c'est bon.
_La 2.b je bug :

f est de la forme u/v
avec : u(x)= x(au cube) +3x²+5x+5 et u'(x)= 3x²+6x+5
v(x)= (x+1)² , je pense qu'il faut développer mais je ne suis pas sûr.
= x²+2x+1

v'(x)= 2x + 2

f' est de la forme (u'v - v'u)/v²
Sauf que arrivée ici j'obtiens un calcul invraisemblable...
Et je ne suis pas allez plus loin parce que bah... je bloque.

- Désolé pour la présentation c'est pas top :/ -
Merci d'avance.

v'

[XENSECP]

Pour la 1/, cherche g(x) = f(x)-(x+1) en mettant tout au même dénominateur. Si la fonction g vérifie les propriétés énoncées, tu auras répondu à la question.

[chupetta-972]

Aaaah ouais!

donc ça fait :

g(x) = f(x)-(x+1)

après calculs on obtient g(x)= (2x+4)/(x+1)²

et puis bah ensuite on montre que g(x)+1= f(x).

Ensuite, pour la limite, vu qu'on est en présence d'une fonction rationnelle, la limite de g(x) en l'infini est la limite du quotient de ses termes de plus haut degré soit

lim g(x)= lim x/x²
x-> +/-infini
Sauf que du coup on est en présence d'une forme indeterminée et je ne vois pas comment la lever...

[XENSECP]

Aaaah ouais!

donc ça fait :

g(x) = f(x)-(x+1)

après calculs on obtient g(x)= (2x+4)/(x+1)²

et puis bah ensuite on montre que g(x)+1= f(x).

Ensuite, pour la limite, vu qu'on est en présence d'une fonction rationnelle, la limite de g(x) en l'infini est la limite du quotient de ses termes de plus haut degré soit

lim g(x)= lim x/x²
x-> +/-infini
Sauf que du coup on est en présence d'une forme indeterminée et je ne vois pas comment la lever...

Oh mon dieu.... g(x) = f(x)-(x+1) alors pourquoi tu me sors "g(x)+1= f(x)"

Enfin bon g(x) que tu as trouvé semble pas mal.... Après si tu connais les théorèmes/propriétés sur les limites mais que tu sais pas les appliquer !... Oui on prend les termes de + haut degré et ON SIMPLIFIE avant de faire la limite... sinon ce sera toujours une FI et ça n'aurait aucun intérêt de connaître cette propriété !

[chupetta-972]

oups non pas " g(x)+1= f(x)" mais g(x)+1+x = f(x)

Ah...ah oui en effet...

donc on a lim 1/x = 0
x-> +/- infini.

Pour la 2.b, je trouve un truc bizar donc à mon avis il y a une faute quelque part mais où...

Donc j'ai fais :

f'(x)= [ (3x²+6x+5)(x²+2x+1) - (2x+2)(x(cube)+3x²+5x+5) ] / (x+1)^4

= [ 3x^4 +12x(cube)+8x²+28x+5 - (2x^4 +8x(cube)+16x²+20x+10)]/(x+1)^4

= [3x^4 +12x(cube)+8x²+28x+5 -2x^4 -8x(cube)-16x²-20x-10)]/(x+1)^4

f'(x) = (x^4 + 4x(cube)-8x²+8x-5) / (x+1)^4

Enfin voila ça me semble vraiment bizar...

[XENSECP]

Utilise f(x) = x+1+g(x)... comme ça tu n'as "qu'à dériver g(x)" :)

Désolé si je suis un peu "agressif" mais il y a d'autres gens sur d'autres sujets qui m'agacent un peu !

[chupetta-972]

:) pas de soucis
Donc,

en prenant f(x) = x+1+g(x)

on a f'(x)= x+ g'(x)

Or g est de la forme u/v avec u(x)=2x+4 et u'=2
v(x)= (x+1)² et v'(x)= 2x+2

g'= (u'v-v'u)/v²

g'(x)= [ 2(x+1)² - (2x+2)(2x+4) ]/(x+1)^4

= [ 2x²-4x+2-(4x²+20x)]/(x+1)^4

g'(x)= (-2x²-16x+2)/(x+1)^4

bon?

[XENSECP]

en prenant f(x) = x+1+g(x)

on a f'(x)= x+ g'(x)

La suite c'est peut être bon mais déjà là il y a une erreur donc bon...

[chupetta-972]

Pfff... oui en effet

f'(x) = 1 + g'(x) c'est ça?

[chupetta-972]

du coup, si mon calcul de g'(x) est bon :

f'(x)= [(-2x²-16x+2)/(x+1)^4] + 1

f'(x)= (-2x²-16x+2+1(x+1)^4) / (x+1)^4

f'(x)= (-2x²-16x+2+(x+1)²(x+1)²) / (x+1)^4

f'(x)= (-2x²-16x+2+(x-1)(x+1)) / (x+1)^4

f'(x)= (-2x²-16x+2+x²+x-x-1) / (x+1)^4

f'(x)= ( -x²-16x-1) / (x+1)^4

Je pense qu'il y a une erreur parce que ça ne colle pas avec la suite de la question...

[Billball]

f'(x)= (-2x²-16x+2+(x+1)²(x+1)²) / (x+1)^4

f'(x)= (-2x²-16x+2+(x-1)(x+1)) / (x+1)^4

Je pense qu'il y a une erreur parce que ça ne colle pas avec la suite de la question...

tu m'expliques cmt tu passe de l'une a l'autre?

(x+1)²(x+1)² = (x+1)^4

(x-1)(x+1) = x² - 1

x² - 1 vaut pas (x+1)^4