Exo sur les suites

[meinston]

Bonjour je vien de commencer les suites et nous avons a faire cet exercice pouvez vous m'aider.
(Un) est la suite définie par U0=3 et Un+1=-1/4Un+5 et (Vn) est définie pour tout naturel n par Vn=Un-4.
1)Conjecturez graphiquement le comportement de (Un).
2)Prouvez que la suite (Vn) est géométrique.
3)Exprimez Vn, puis Un, en fonction de n
4)a)Prouvez que si n est pair, Vn est négatif, et que si n est impair Vn est positif.
b)Déduisez-en que (Un) n'est pas monotone.
5)a)Quelle est limite de (Vn)
Déduisez-en celle de (Un).

[theluckyluke]

yo,
alors pour la question 1)
tu as : Un+1 = f(Un) avec f(x) = -1/4x+5
dans un repère tu traces les deux droites d'équation y=-1/4x+5 et y = x
puis tu pars de la valeur U0 = 3 sur l'axe des abscisses et tu "montes" jusqu'à f(x). Ensuite, tu marques le point d'intersection avec f, et tu reportes ce point sur y = x. Tu as donc la valeur de U1 sur l'axe des abscisses.
Tu refais pareil, etc... et tu trouves généralement des trucs du style "escargot" ou "escalier" (j'ai pas essayé pour la fonction)

J'espere que c'est clair... j'ai un peu de mal à expliquer

[fonfon]

salut,

1) essaie de calculer quelques points et de trouver quelque chose sur ce que çà te donne la representation graphique dans un repere est constituée par les points

2)pour montrer que est geometrique on calcule

soit



donc est de la forme donc d'après ton cours est une suite geometrique de raison q=-1/4 et de 1er terme vo=uo-4=-1

3) donc

comme on deduit

je te laisse poursuivre
A+

[pafab]

Encore une fois, les parenthèses ne sont pas facultatives en maths.

quand tu écris Un+1=-1/4Un+5, on doit comprendre u(n+1)=(-1/4)u(n)+5 ou u(n+1)=-1/(4u(n))+5 ou....?

A priori je pense que c'est (n+1)=(-1/4)u(n)+5.

1) tu traces la courbe de la fonction f(x) = (-1/4)x+5 et la droite d'équatiion y =x. Tu as du voir en cours un procédé de représentation des suites sous forme d'"escalier".
En observant les valeurs tu peux conjecturer un sens de variation; calcule aussi à la main le spremiers termes pour comparer.
2) tu connais u(n+1) et v(n) = u(n) - 4.
Or v est géométrique ssi pour tout n v(n+1) = q v(n) où q est une constante.
Tu dois donc calculer v(n+1) = u(n+1) - 4, mais comme tu connais u(n+1), tu peux remplacer.
Tu dois aboutir à la fin à v(n+1) = (-1/4)(u(n) - 4).
Donc v est géométrique de raison (-1/4). Je te laisse faire les détails de la démo.
3) dans le cours ru sais que si v est géométrique de raison q alors v(n) = v(0)q^n. Tu appliques cela à ta suite. POur u(n), tu sais v(n) = u(n) - 4. donc tu peux exprimer u(n).
4) un nombre négatif à une puissance paire est positif et à une puissance e impaire est négatif
pour la monotonie, voir la définition du cours.
5) lim q^n = 0 si -1

Cet exo est archi classique est doit absolument être maîtriser, cela fait partie du b - a - ba. DONC bosse le bien. Il faut aussi très bien connaître le cours.