Les sous-groupes additifs de R sont soit denses, soit discre

[skertel]

Bonjour.

J'ai un problème dans la compréhension du théorème: Les sous-groupes additifs de R sont soit denses, soit discrets.
Dans la partie ci-dessous, on utilise la caractérisation de la borne inférieure et on dit que "Si  alpha dans 2 G; alors il existe successivement a et b appartenant à G*+ tels que:
alpha < a < b < 2alpha

Pourtant, ceci n'est-il pas toujours vrai, même si la borne inf alpha est dans G (et dans ce cas, il n'y aurait pas de contradiction)? En tout cas, dans mon cours, lorsqu'on utilise la caractérisation de la borne inférieure, il n'est pas précisé si elle est dans l'ensemble ou pas.

Merci beaucoup d'avance...

i. Montrer que  alpha est dans G en utilisant la caractérisation de la borne inférieure. Réponse :
Si  alpha dans G; alors il existe successivement a et b appartenant à G*+ tels que:
alpha < a < b < 2 alpha
et donc
0 < b < a < alpha
et comme b-a est dans G;on exhibe un élément de G*+ inférieur à alpha. c'est impossible et
donc  alpha dans G.
(http://maths83.free.fr/pdfM2/devoirs/ssgpeRc.pdf)

[Nightmare]

Salut,

déjà pour comprendre une preuve il faut la lire correctement ! On suppose dans cette quesion que alpha n'appartient pas à G !

[ludo56]

Oui,pour montrer que est dans G, on raisonne par l'absurde en supposant que ce n'est pas le cas.
On peut alors affirmer l'existence de a et b par définition de la borne inf..