Equation fonction réciproque

[Fed]

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider à résoudre cette équation :

f(x)= x+1/rac(1+x²) = 1

en fait il faut trouver l'image de 1 par la fonction réciproque de f...

Merci

[girdav]

On peut tenter .

[Fed]

oui merci girdav.

Et si je cherchais l'expression de f-1(x), la réciproque de f(x)?

[JeanJ]

Et si je cherchais l'expression de f-1(x), la réciproque de f(x)?

Mais bien sûr, si tu en a envie, tu as le droit de calculer la fonction réciproque de y=f(x) pour trouver la fonction multiforme x(y). Pour cela, tu n'auras qu'à résoudre une équation algébrique du quatrième degré, ce qui est possible si tu connaîs la méthode de Ferrari.
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
Evidemment, la résolution directe de l'équation f(x)=1 est aussi une façon de faire, mais moins amusante car beaucoup trop simple : on trouve facilement la solution x=0, ainsi qu'une autre solution réelle et deux solutions complexes conjuguées en résolvant une équation algébrique du troisième degré par la méthode de Tartaglia-Cardan.
Ne parlons pas de la méthode intuitive qui donne immédiatement x=0.

[Fed]

Effectivement, f(0)=1. Mais "remarquer" est différent de "calculer" non? Ici on me demande de calculer l'image de 1 par la réciproque de f, ce qui m'amène naturellement à poser x+1/rac(1+x²)=1, que je ne parviens pas à résoudre.
De plus, JeanJ, il n'a pas été question dans mon cours de la méthode de Ferrari, et je te serais reconnaissant si tu voulais bien résoudre "simplement" pour moi l'equation f(x)=1 avec ses racines complexes (et sa seconde racine réelle que tu évoques dont l'existence contrarierait mon raisonnement à une question précédente où j'ai établi que f ' (x)>0 sur R).

[JeanJ]

et sa seconde racine réelle que tu évoques dont l'existence contrarierait mon raisonnement à une question précédente

Non, il n'y a pas de contradiction.
En effet, lorsqu'on transforme l'équation initiale pour arriver à l'équation du quatrième degré, il ne faut pas croire que toutes les solutions de cette équation sont solutions de l'équation initiale. On doit le vérifier à postériori. La solution évidente x=0 étant acquise, il reste l'équation du troisième degré qui a bien une racine réelle ainsi que cela a été signalé. Mais tu dois songer à vérifier si elle est solution de l'équation initiale et, dans le cas présent, montrer qu'elle ne l'est pas.
voici quelques indications complémentaires :
x+1/rac(1+x²) = 1
1/rac(1+x²) = 1-x
1/(1+x²) = (1-x)²
(1-x)²(1+x²) -1 = 0 est l'équation du 4ième degré

[Fed]

D'accord, donc la notation 1/rac(1+x²) = 1-x 1/(1+x²) = (1-x)² est erronée?

[JeanJ]

L'écriture correcte est :
1/rac(1+x²) = 1-x => 1/(1+x²) = (1-x)²
et non pas <=>
Donc toutes les racines de l'équation de gauche sont parmi les racines de l'équation de droite.
Sachant résoudre l'équation de droite, c'est ce qui permet de trouver toutes les expressions de x "candidates" à être solutions de l'équation de gauche. Mais "canditates" ne veut pas dire qu'elles sont toutes solutions.
En fait, parmis les solutions de l'équation de droite, on trouve aussi les solutions d'une autre équation : 1/(-rac(1+x²)) = 1-x
car : 1/(-rac(1+x²)) = 1-x => 1/(1+x²) = (1-x)²
Et plus globalement :
1/((+ou-)rac(1+x²)) = 1-x <=> 1/(1+x²) = (1-x)²

[XENSECP]

Ca te convient comme "calcul" ?

[Fed]

Oui parfait merci à tous pour votre aide.