Pour les grands maîtres des inégalités [Résolu]
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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girdav
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par girdav » 26 Déc 2010, 00:10
Bonjour,
on se donne un entier
et
des nombres réels positifs tels que pour tout
. Montrer que
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[/CENTER]
Quels sont les cas d'égalité?
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Olympus
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par Olympus » 26 Déc 2010, 00:44
Salut !
Sauf erreur, l'inégalité est fausse pour
car
.
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girdav
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par girdav » 26 Déc 2010, 00:49
Olympus a écrit:Salut !
Sauf erreur, l'inégalité est fausse pour
car
.
Salut,
oui évidemment si j'oublie un facteur en cours de route... J'ai corrigé.
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Olympus
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par Olympus » 26 Déc 2010, 15:21
Franchement, je sèche totalement là :marteau:
Je l'ai démontrée pour n=1 . Ce qui nous donne
au cas où on veut procéder par récurrence, sauf que je ne vois pas comment m'en servir ...
J'ai aussi remarqué que
, mais c'est pas assez fort pour conclure
Une indice ?
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girdav
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par girdav » 26 Déc 2010, 15:29
On peut montrer l'inégalité par récurrence. C'est bien sûr l'héridité qui va nous occuper (l'initialisation est presque triviale une fois que l'énoncé est correct).
Supposons la propriété vraie au rang
. Il "suffit" de montrer que
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[/CENTER]
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Olympus
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par Olympus » 26 Déc 2010, 16:18
Lol, tu m'as presque donné la solution là, c'est évident maintenant xD
Cela vient du fait que
Mais vu que
, on a immédiatement
.
D'où le résultat .
On utilise l'hypothèse de récurrence encore une fois et c'est fini car :
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girdav
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par girdav » 26 Déc 2010, 16:26
Olympus a écrit:Lol, tu m'as presque donné la solution là, c'est évident maintenant xD
Disons que c'était tout ou rien. Si je disais "essaie de montrer une inégalité intermédiaire", tu n'aurais peut-être pas été beaucoup plus avancé.
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par Olympus » 26 Déc 2010, 16:38
girdav a écrit:Disons que c'était tout ou rien. Si je disais "essaie de montrer une inégalité intermédiaire", tu n'aurais peut-être pas été beaucoup plus avancé.
Oui, je passais du temps à essayer diverses applications de Cauchy-Schwarz et Tchebyshev sans aboutir à quelque chose et j'aurais continué si tu ne m'avais pas donné ton indice :ptdr: Alors que là, je suis étonné par la simplicité de la solution :doh:
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par girdav » 26 Déc 2010, 16:41
Maintenant il ne reste plus que les cas d'égalité mais effectivement le plus dur est derrière.
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Olympus
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par Olympus » 26 Déc 2010, 17:28
On montre aisément par récurrence qu'il y a égalité si et seulement si
.
Pour n=1, c'est évident .
On suppose que pour un certain 'n',
.
On résout
Or
.
Réciproquement, on a bien une égalité sous cette dernière condition si on remplace dans la troisième ligne .
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par girdav » 26 Déc 2010, 17:48
Je suis d'accord. En fait ici au vu de l'hypothèse on se doute des cas d'égalité.
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