égalité en loi et densité

[lisonn]

Bonsoir,

je me demande si étant donnés X et Y 2 vecteurs aléatoires, X et Y ont même loi <=> X et Y ont même densité.
L'implication <= est évidente. J'aurais tendance à dire que la réciproque est vraie mais je viens de tomber sur un exo où apparement c'est faux.....
Quelqu'un pourrait il m'éclairer soit en me donnant un contre exemple si c'est faux ou une idée de preuve dans le cas contraire.

Merci

[girdav]

Bonjour,
peux-tu nous écrire l'énoncé de l'exercice qui mettrait en défaut le sens direct?

[lisonn]

Oui je peux faire ça.

Soit une suite de v.a i.i.d de fonction de répartition F.
On suppose que F admet une densité f et on demande de montrer que a pour densité où correspond au vecteur aléatoire dont les v.a ont été réordonnées de façon croissante, ie est le min des etc.

Il me semblait que = (je crois que toute permutation du vecteur donne un vecteur aléatoire de même loi que le vecteur initial). Or ici je n'ai pas les mêmes densités....

[girdav]

Le problème est que la permutation de réordonnement dépend de l'évènement que l'on considère. C'est plus compliqué que de considérer par exemple les couples et .
D'ailleurs, si on considère qu'il agit de variables aléatoires réelles on a par exemple alors que en général.

[lisonn]

Ah ok je vois, en fait on a un vecteur dont les composantes ne sont plus indépendantes, on ne peut donc pas parler de permutation aléatoire. Merci pour ta réponse.

Saurais-tu comment démontrer la densité demandée? Ou au moins une idée, je ne vois pas du tout....

[girdav]

Par exemple, on peut commencer par le cas . Il suffit de vérifier que pour on a que (car la fonction de répartition détermine la loi).

[lisonn]

Ok merci, il doit y avoir un 2 de trop....
Juste pour être sûre d'avoir bien compris, quand tu calcules le 2 devant l'intégrale provient du nombre de permutations, on a ou , c'est bien ça?

[girdav]

Oui, c'est de là que vient le dans ce cas, et pour le cas général cela explique la présence de la factorielle.