Spé maths : congruences !

par **pmpmpm** » 23 Déc 2010, 13:34

bonjour j'ai cet exercice à faire mais je n'arrive pas à la deuxième question :
On se propose de démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
1-Justifier que tout nombre impair est congru à 1 ou à 3 modulo 4.Puis citer deux nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
2-Soit n un entier naturel non nul.On suppose que tous les diviseurs premiers de l'entier n sont congrus à 1 modulo 4; démontrer qu'alors n est congru à 1 modulo 4.En déduire que si k congru à 3 modulo 4 alors k admet au moins un diviseur premier congru à 3 modulo 4.
3-Si l'ensemble des nombres premiers congrus à 3 modulo 4 est fini, on appelle p son plus grand élément.Soit alors K=2*3*5*...*p+1, le produit de tout les nombres premiers jusqu'à p augmenté de 1.
a.Démontrer que K congru à 3 modulo 4.
b.A l'aide des résultats précédents, montrer que l'on aboutit à une contradiction.

1-Tout nombre impair s'écrit 4k+1 ou 4k+3 et k appartient à N.
On veut justifier que tout nombre impair est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
On sait que 4k;)0 (4)
donc 4k+1 ;) 1 (4)
De meme 4k ;) 0 (4)
donc 4k+3 ;) 3 (4)
Deux nombres premiers congrus à 3 modulo 4 sont 7 et 19.
Pour l'instant est ce bon ?

par **Ben314** » 23 Déc 2010, 13:45

Salut,
Pour les deux exemples de nombres premiers congrus à 3 modulo 4, c'est O.K. (mais j'aurais plutôt pris 3 et 7...).

Par contre, ça :

pmpmpm a écrit:On sait que 4k;)0 (4) donc 4k+1 1 (4)
De meme 4k 0 (4) donc 4k+3 3 (4)

C'est pas faux, mais je vois pas le début d'un rapport avec la question posée qui était :
"Justifier que tout nombre impair est congru à 1 ou à 3 modulo 4"
dont la réponse doit (évidement) être de la forme :

correct a écrit:Soit a un entier impair.
On a ... bla bla bla...
donc a est congru à 1 ou 3 modulo 4.

par **pmpmpm** » 23 Déc 2010, 13:48

bah unnombre impair s'écrit bien 4k+1 ou 4k+3 dans la divison par 4 ?

par **Ben314** » 23 Déc 2010, 13:51

pmpmpm a écrit:bah unnombre impair s'écrit bien 4k+1 ou 4k+3 dans la divison par 4 ?

Effectivement...
A la rigueur, si le prof. est "sévère" (mais comme il se doit "juste"... :zen:), il pourrait demander de "détailler" un peu...

par **arnaud32** » 23 Déc 2010, 13:51

un nombre impaire i est de la forme
i=2k+1 avec k entier
tu peux avoir k=2n ou k=2n+1
donc i = 2(2n)+1=4n+1 ou i = 2(2n+1)+1=4n+3 et i=1[4] ou i=3[4]

par **pmpmpm** » 23 Déc 2010, 13:52

oui voilà c'est ca qui me manque j'y ai pensé mais je ne me souviens plus comment détaillé ... pouvez vous m'aider ?

par **Ben314** » 23 Déc 2010, 14:00

Tu as la solution de Arnaud juste au dessus.
Ou alors (juste pour montrer que même un truc simple comme ça, il y a plusieurs façon de rédiger la réponse) :

Soit a un entier quelconque. En effectuant la division euclidienne de a par 4, il vient que a=4k+r avec r=0 ou 1 ou 2 ou 3.
Or, si r=0 aors a=2.(2k) est pair et, si r=2 alors a=2(2k+1) est pair.
Donc, lorsque a est impair, on a forcément r=1 ou r=3.

Bon, O.K., c'est pas super super différent... :marteau:

par **pmpmpm** » 23 Déc 2010, 14:06

merci en fait c'est simple mais c'est surtout pour la question 2 et 3 que j'ai du mal ...

par **Ben314** » 23 Déc 2010, 14:08

Bon, sinon, pour la question 2), je pense que tu as vu que :
Si

et

alors

et... c'est le moment de t'en servir (avec bien sûr

)

Et pour, la 3)a), la seule (petite) astuce est de voir que, à part le nombre 2, tout les nombres premiers sont impairs et qu'un produit de nombres impairs...

par **arnaud32** » 23 Déc 2010, 14:10

tu as

ou les

sont premiers et

entiers et

si

que dire de

puis de n?

par **pmpmpm** » 23 Déc 2010, 14:10

oui je vu ca mais mais pourquoi on a besoin de savoir à combien égal n ?

par **pmpmpm** » 23 Déc 2010, 14:12

arnaud je suis désolé mais je ne comprends rien a cette écriture et c'est quoi ce "pont" ?

par **sad13** » 23 Déc 2010, 14:53

le pont c'est un Pi majuscule et cela veut dire le produit des.....

Ceci dit, réponds d'abord à Ben le produit de nombres impair est.... et justifies le.

Vas y étape par étape.

Pour Arnaud, merci de ton aide mais c'est niveau TS donc je pense faut bien justifier chaque étape et raisonner simple en écrivant simple de peur.....

par **pmpmpm** » 23 Déc 2010, 15:20

le produit de nombre impaire est impaire mais comment le justifier et quel est la rapport avec la question ?

par **sad13** » 23 Déc 2010, 15:23

Pour le rapport avec la question, remonte le fil.

pour la justification, commences par deux nombres impairs simples

3*5=15 ok?

ben :le produit de deux nombres impaires ça s'écrit (2k+1)*(2k'+1)=4kk'+2k+2k'+1=2*k"+1 (impair) avec k"=.......
A toi de me le dire

Courage, tu avs y arriver mais regarde les raisonnements et sois précis.

par **pmpmpm** » 23 Déc 2010, 15:26

mais ca c'est pour la question 3a) non ? mais j'en suis à la 2 !

par **pmpmpm** » 23 Déc 2010, 15:41

Pour le début de la 2 j'ai fais:

Soit n un entier naturel non nul.On sait que tous les diviseurs premiers de l'entier n sont congrus à 1 modulo 4.
On a alors p|n et p;)1 (4) ????et la je suis bloqué !

par **Ben314** » 23 Déc 2010, 16:24

"On suppose que tous les diviseurs premiers de l'entier n sont congrus à 1 modulo 4"
Signifie que

(décomposition en nombre premiers : c'est la même chose que ce qu'avait écrit Arnaud mais sans le symbole PI...) où les les nombres premiers

(qui peuvent se répéter, mais on s'en fout...) sont tous congrus à 1 modulo 4.

Cette écriture "théorique" correspond bètement à un truc du style 120=2x2x2x3x5 (décomposition en produit de nombres premiers) : ici, n=120, k=5,

;

(mais, dans cet exemple, les

ne sont pas tous congrus à 1 modulo 4)

par **pmpmpm** » 23 Déc 2010, 16:29

je ne vois pas à quoi ca sert !! en plus le temps passe et j'ai l'impression de ne pas avancer car je ne vois pas ou vous voulez en venir avec ca car vous avez dit d'utiliser les formules que vous m'avez donné et n=4 !

par **pmpmpm** » 23 Déc 2010, 22:05

il n'y a personne pour m'aider ?

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