Espace vectoriel et base

[Science]

Bonjour j'ai un problème pour la question b de cet exercice :
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et f un endomorphisme de E telle que f² différente de l'application nulle et f^3=0.

a)Montrer qu'il existe un vecteur x0 de E telle que (x0,f(x0)f²(x0)) soit une base de E.
Pour cette question aucun soucis.

b)Soit G l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec f. Montrer que G est un sous espace vectoriel de de l'ensemble des endomorphismes de E (ca c'est fait pas de problème).
Là où je coince c'est pour cette question :montrer que G admet pour base (ide,f,f²).

Je veux bien un coup de main s'il vous plaît !
Merci de votre aide

Cordialement

Science

[Arnaud-29-31]

Salut,

On cherche juste une famille libre, composée de trois vecteurs qui commutent avec f ...

[Doraki]

La partie dure c'est de montrer que engendre l'espace recherché :
donc de montrer que pour tout g qui commute avec f, g est dans .

Soit g qui commute avec f.

Si le résultat est vrai, alors f( g(f²(x0)) = f( a*f²(x0) + b*0 + c*0) = a*0 = 0.
Donc tu devrais naturellement être amené à vouloir montrer que g(f²(x0)) est dans Ker f.

Une fois que tu l'as montré pour de vrai, tu fais pareil pour voir qu'est-ce que tu peux dire sur g(f(x0)) puis sur g(x0).

[Science]

La partie dure c'est de montrer que engendre l'espace recherché :
donc de montrer que pour tout g qui commute avec f, g est dans .

Soit g qui commute avec f.

Si le résultat est vrai, alors f( g(f²(x0)) = f( a*f²(x0) + b*0 + c*0) = a*0 = 0.
Donc tu devrais naturellement être amené à vouloir montrer que g(f²(x0)) est dans Ker f.

Une fois que tu l'as montré pour de vrai, tu fais pareil pour voir qu'est-ce que tu peux dire sur g(f(x0)) puis sur g(x0).

Je vois ce que tu veux faire mais en quoi le faite de montrer que g(f²(x0)) est dans ker(f) permet de montrer que g est dans (if,f,f²)

[Ben314]

Salut,
Si, pour simplifier, tu note x1=f(x0) et x2=f(x1) alors, comme (x0,x1,x2) est une base, pour avoir fog=gof, il faut (et il suffit) d'avoir fog(ei)=gof(ei) pour i=0,1,2.
pour i=2, vu que f(e2)=0, il faut donc que fog(e2)=0, c'est à dire que g(e2) soit dans Ker(f) ce qui signifie que g(e2)=alpha.e2 et c'est le "début" de g=alpha.Id+beta.f+gamma.f²...
Tu peut regarder de même les conditions sur g(e1) et sur g(e0).

Perso, vu qu'on est que en dimension 3, je sais pas si j'écrirais pas bètement une matrice 3x3 "quelconque" puis à quelles condition elle commute avec la matrice de f (prise bien sûr dans la base (e0,e1,e2)) : c'est un peu con-con, mais ça conduit rapidement au résultat...

[Science]

Juste une question : qu'est ce qui prouve que ker(f) est de dimension 1 pour qu'on puisse écrire g(f²(x0))=alpha.f²(xo) ?

[Ben314]

Effectivement, il faut le justifier :
f(ax0+bx1+cx2)=ax1+bx2=0 ssi a=b=0 donc ker(f)=Vect{x2}

[Science]

OK bon alors j'ai montré que
g(f²(x0))=alpha.f²(x0)
g(f(x0))=beta.f(x0)+gamma.f²(x0)
g(x0)=alpha2.x0+beta2.f(x0)+gamma2.f²(x0)

Le soucis c 'est que je vois pas comment conclure pour dire que g=alpha.ide+beta.f+gamma.f²

[Ben314]

OK bon alors j'ai montré que
g(f²(x0))=alpha.f²(x0)
g(f(x0))=beta.f(x0)+gamma.f²(x0)
g(x0)=alpha2.x0+beta2.f(x0)+gamma2.f²(x0)

Le soucis c 'est que je vois pas comment conclure pour dire que g=alpha.ide+beta.f+gamma.f²

Pour conclure que g=alpha2.Id+beta2.f+gamma2.f², il ne te reste plus qu'à montrer que :
alpha=beta=alpha2
gamma=beta2
Or g(f(x0))=f(g(x0)) donc...

[Science]

Pour conclure que g=alpha2.Id+beta2.f+gamma2.f², il ne te reste plus qu'à montrer que :
alpha=beta=alpha2
gamma=beta2
Or g(f(x0))=f(g(x0)) donc...

Je ne comprends : ca je viens de le montrer vite fais (sur une feuille) mais je vois pas en quoi on a le droit de marquer que pour tout x dans E g(x)=alpha.x+beta.f(x)+gamma.f²(x)

[Ben314]

C'est là toute "l'astuce" de l'algèbre linéaire :
Les applications x->g(x) et x->alpha.x+beta.f(x)+gamma.f²(x) sont toute les deux linéaires donc, pour qu'elles soient égales partout, il suffit qu'elles soient égales sur une base :
Il suffit que g(x)=alpha.x+beta.f(x)+gamma.f²(x) soit vrai pour x=x0, x=x1 et x=x2 pour prouver que c'est vrai pour tout x de l'espace E.

[Science]

C'est là toute "l'astuce" de l'algèbre linéaire :
Les applications x->g(x) et x->alpha.x+beta.f(x)+gamma.f²(x) sont toute les deux linéaires donc, pour qu'elles soient égales partout, il suffit qu'elles soient égales sur une base :
Il suffit que g(x)=alpha.x+beta.f(x)+gamma.f²(x) soit vrai pour x=x0, x=x1 et x=x2 pour prouver que c'est vrai pour tout x de l'espace E.

Ok merci beaucoup pour ton aide !

[Ben314]

Ok merci beaucoup pour ton aide !

Tu peut aussi regarder vite fait la méthode consistant à dire que, dans la base la matrice de est donc chercher telle que revient à chercher une matrice telle que :

ce qui n'est pas super long non plus (mais un peu "bourrin...")