Transformations du plan, exercice problématique..

[Amsterdam_40]

Bonjour à tous, j'ai commencé à bosser sur mon DM de mathématiques pour la rentrée et je bloque à une question ..
On nous donne une transformation dans le plan complexe et on note P* le plan privé de l'origine du repère, on considère l'application @ : Qui va de P* vers P et qui associe à un point M(z) son image M'(z')
avec z'=(1/2)(z-(1/z))
La question est celle ci :
Soit N un point d'affixe a, où a est réel. Montrer que N a deux antécédents par @ qu'on notera N1 et N1, et que N est le milieu de [N1N2]

Si quelqu'un a un peu de temps pour ce pencher sur le problème.. Merci d'avance :)

[arnaud32]

N a pour corrdonnee complexe a+ib
les antecedents de N verifient (z²-1)/(2z)=a+ib ...

[Amsterdam_40]

J'ai bien trouvé ça en effet.. Mais l'argument qui nous permettrait de prouver que N a deux antécédents, c'est le z² ?

[arnaud32]

J'ai bien trouvé ça en effet.. Mais l'argument qui nous permettrait de prouver que N a deux antécédents, c'est le z² ?

tu dois resoudre une equation du second degre.
tu peux trouver les racines et voir dans quel cas elles sont egales

[Amsterdam_40]

J'ai résolu l'équation du second degré : z² - 2az -1 = 0
Je trouve deux racines mais je ne vois pas comment trouver une condition pour qu'elles soient égales..

[arnaud32]

quelles sont tes racines?

[Amsterdam_40]

Je trouve ces deux racines :

(2a-;)(4a²+4))/2 et (2a+;)(4a²+4))/2

[arnaud32]

z²-1=2(a+ib)z
z²-2(a+ib)z-1=0
(z-(a+ib))²=1+(a+ib)²
les deux racines sont identiques ssi 1+(a+ib)²=0
don ssi a=0 et (b=1 ou b=-1)

[Amsterdam_40]

Je suis d'accord avec vous, mais on nous précise bien que N a pour affixe a, où a est un réel..

[Ben314]

Salut,
Si tu veut mon avis, l'idée de l'exercice ce n'est pas de calculer les racines du polynôme z²-2az-1=0, mais d'utiliser les connaissances que tu doit (noramlement) avoir concernant les équations du second degrés à coefficient réels (ici a est réel) :
1) A quelle condition un trinôme du second degrés admet-il deux racines distinctes ?
2) Que vaut la somme des racines ? et la moyenne (qui est la somme /2) ?

[arnaud32]

donc tu as b=0
ce qui justifie que tu aies deux racines distinctes

[Amsterdam_40]

Réponse à Ben314

Un polynôme a deux racines distinctes si son discriminant est positif
et la somme des racines est égale à 2a ici et la moyenne est égale à a.
Si j'ai bien compris, c'est simplement le fait qu'il y ait deux racines distinctes à cette équation qui nous donne la possibilité d'affirmer l'existence de deux antécédents pour N ?

Et puisque la moyenne des deux racines est égale à l'affixe de N, on a bien prouvé que N était le milieu de N1 et N2.. C'est bien ça ?

[Ben314]

Réponse à Ben314

Un polynôme a deux racines distinctes si son discriminant est positif
et la somme des racines est égale à 2a ici et la moyenne est égale à a.
Si j'ai bien compris, c'est simplement le fait qu'il y ait deux racines distinctes à cette équation qui nous donne la possibilité d'affirmer l'existence de deux antécédents pour N ?

Et puisque la moyenne des deux racines est égale à l'affixe de N, on a bien prouvé que N était le milieu de N1 et N2.. C'est bien ça ?

Oui, modulo que la "vrai vérité" est plutôt :
Un trinôme à coefficients réels a deux racines réelles distinctes si son discriminant est strictement positif.

[Amsterdam_40]

Merci beaucoup de votre aide en tout cas !