Théorème de Cantor-Bernstein

[pingouin estropié]

Bonsoir,

Voici l'énoncé de mon problème :

Soient X et Y deux ensembles. Soient f et g deux injections respectivement de X dans Y et de Y dans X. Soit phi = fog. Soit n dans N et A0, A1, ..., An, An+1,... des parties disjointes de Y telles que A0 = Y privé de f(X) et An+1 = phi(An). Soit A = union des An, n dans N, B = g(A) et C = X privé de B.
J'ai montré précédemment que A était stable par phi, que f(B)=A privé de A0 mais il me reste à démontrer que tout élément de C possède un unique antécédent par g dans Y, j'ai découpé ma démo en deux parties : Unicité et Existence. J'ai facilement réussis à démontrer l'unicité (injectivité de g), cependant je sèche complétement sur l'existence, je ne sais pas si "éléments" est dans le sens "ensembles (parties de Y par exemple)" ou "nombres". Il faut donc cherche un x tel que y=g(x) mais quel x choisir afin qu'il soit dans Y?

Si vous pouviez m'aider sans me donner la solution directement ce serait sympa, je vous remercie par avance de vos réponses qui je l'espère me seront utiles...

[Ben314]

Salut,
Si tu t'est pas gourré dans tes notations (ou en recopiant), pour l'existence, tu peut faire "tintin" :
A est contenu dans Y
donc B=g(A) est contenu dans g(Y)
donc C=(X privé de B) contient (X privé de g(Y))
qui est justement l'ensemble des éléments de X qui n'ont pas d'antécédents par g...

[Ben314]

En plus, c'est pas malin de chercher si les éléments de C on un antécédent par g, vu que ta bijection "finale" ça sera :
x-> f(x) si x dans C
x-> g^{-1}(x) si x dans B

[pingouin estropié]

Je ne comprend pas, on veut montrer que tout élément de C admet un unique antécédent par dans Y autrement dit dans l'existence on cherche à prouver que C=g(Y) c'est ça?
Et vous m'exposer une démo qui montre que C contient l'ensemble des éléments n'ayant aucun antécédents pas g

[Ben314]

Ce que "je t'expose", c'est que
- Soit il y a une erreur dans ton énoncé,
- Soit tu t'est gourré en le recopiant

Bon, de toute façon, vu ce que tu as démontré, tu ne devrait pas avoir trop de mal à montrer que la fonction
est une bijection de X dans Y, ce qui est le résultat du théorème.