Surjections

[titeelo11]

Bonjour !
Je suis actuellement en train de travailler sur un exercice de mathématiques dont voici l'énoncé :

On considère un tableau triangulaire à p lignes et p colonnes dont chaques cases contient un nombre. On note a(i,j) les nombres figurant dans ce tableau; i, numéro de la ligne, et j, numéro de la colonne, sont des entiers compris entre 1 et p avec la condition j<= i puisque le tableau est triangulaire.
En calculant de deux manières la somme de touts les nombres de ce tableau, dénombrer l'égalité :


p i p p
;) ;) a(i,j) = ;) ;) a(i,j)
i=1 j=1 j=1 i=j

Pouvez vous m'apporter de l'aide, sachant que j'ai déjà construit le tableau.. :hein:
Je vous remercie !

[titeelo11]

S'il vous plait ? :hein:

[nathanap]

je n'arrive pas à lire l'égalité, les indices sont complètement mélangés :s

[nathanap]

enfin sans les indices je pense qu'il fait simplement
dans le premier cas : la somme de tous les éléments de chaque ligne, puis la somme des résultats obtenus
dans le deuxième cas : la somme de tous les éléments de chaque colonne, puis la somme des résultats obtenus

ce qui fait évidemment dans les deux cas la somme de tous les éléments du tableau ?
enfin chais pas faudrait que je puisse lire :s

[titeelo11]

Oh exact, je n'avais pas fait attention, je vais essayer de séparer les indices pas des " _"

p__ ____i_________p _p
;)__(___;) a(i,j) ) = ;) _( ;) a(i,j) )
i=1 ___j=1 ______j=1_i=j


En espérant que vous y voyez un peu plus clair..
Excusez moi :S

[nathanap]

ah bah oui c'est ca alors
t'as un tableau triangulaire de cette forme : L\ (enfin c'est un peu moche mon dessin mais bon)

tu vois a droite il calcule pour i fixé (numéro de la ligne fixé) la somme pour j allant de 1 à i des ai,j c'est à dire tous les éléments de la ligne en question, puis il somme tout
et à gauche il calcule pour j fixé (numéro de la colonne fixé) la somme pour i allant de j à p des ai,j c'est à dire tous les éléments de la colonne en question, puis il somme tout
dans les deux cas t'as la somme de tous les éléments du tableau

[titeelo11]

Ah oui, exact, je vois bien tout ça !
Mais le problème c'est que, je ne vois pas comment démontrer rigoureusement cette égalité, qu'avec, comme vous l'avez fait, une démarche explicative..

[titeelo11]

Merci de votre aide :)

[nathanap]

pour la démontrer rigoureusement tu peux raisonner par récurrence sur p
tu fais aller tes sommes jusqu'à p+1, ensuite tu les sépares : tu les fais aller jusqu'à p et tu mets appart les termes en p+1.
Par hypothèse de récurrence les sommes allant jusqu'à p sont égales et normalement les termes sortis devraient être ceux de la dernière ligne donc égaux aussi
enfin c'est des détails techniques, faut pas trop s'attarder là dessus ^^

[titeelo11]

Vous me conseillez donc d'opter pour les explications ?
Lorsque qu'il me demande de calculer, j'explique, en exposant le résultat ?

[Ben314]

Salut,
Perso, j'ai tendance à considérer que, pour voir que ben... y'a rien à "démontrer", il suffit de savoir que l'addition est associative, c'est à dire que l'on peut faire une série d'addition dans l'ordre qu'on veut (il me semble que c'est nivau collège ça).

Pour rester terre à terre, l'égalité qu'on te demande de montrer, c'est que :


et il me semble qu'il n'y a pas grand chose à dire (à part que l'addition est associative...)

[titeelo11]

Merci Ben314, même si je ne sais pas comment prendre le fait que vous me dites que c'est du niveau collège.. Certes oui, je demandais juste quel devait être mon raisonnement, je suis avant tout ici pour apprendre, et me renseigner.. Mais je vous remercie pour votre information !

[Ben314]

Ce qu'il faut comprendre, (et ce n'est pas façile du tout...) c'est que ce fameux symbole sigma ce n'est qu'une "abréviation" pour écrire une addition un peu longue.
Donc les propriétés qu'il a, ben ce sont les propriétés de l'addition... (vues au collège) et pas de nouvelle propriétés que l'on t'aurait caché.
Ne vois aucune insulte ou mépris dans le "niveau colège", c'est juste pour dire qu'il n'y a rien de nouveau, juste une nouvelle façon d'écrire des choses déjà connues.
Il faut donc s'habituer à cette nouvelle façon d'écrire les choses (et ce n'est pas évident...).

Par exemple, voit tu à quelle formule "collège" correspond le fait que ?

Tout ça pour dire que, concernant ta question, je mettrais uniquement comme réponses :
"les deux sommes sont égales car ce sont les même quantitées que l'on ajoute, certes pas dans le même ordre, mais on sait que l'ordre dans lesquels on fait une somme ne change pas la valeur de la somme"

[titeelo11]

Il est vrai que c'est tout niveau, et assez complexe..
Il me faudra de l'entrainement, beaucoup d'exercice pour maitriser tout ça !
Votre formule d'exemple, si je comprends bien, correspond à la formule de développement ?

[Ben314]

Il est vrai que c'est tout niveau, et assez complexe..
Il me faudra de l'entrainement, beaucoup d'exercice pour maitriser tout ça !
Votre formule d'exemple, si je comprends bien, correspond à la formule de développement ?

Exactement : ce n'est jamais que le fameux du collège que l'on a légèrement généralisé, et encore, même au colège, je pense que l'on sait que l'on peut développer un nombre quelconque de termes : ce n'est donc qu'une "réécriture" d'un truc qu'on pourait presque écrire au collège :

Par contre, effectivement, là où c'est toi qui a raison, c'est qu'il faut un peu de temps(=exercices) pour s'habituer à cette notation.

[titeelo11]

Merci beaucoup ! :)

[titeelo11]

On me demande de Calculer ensuite plusieurs surjections :
Nombre de surjections de En vers Ep pour p>n(Où En ensemble à n élément, et Ep ensemble à p élément)
Je sais qu'une surjection est un élément de En qui peux avoir plusieurs images dans Ep.
Le fait que p>n prouve que la surjection existe !
Je n'ai cependant pas encore la méthode, puis'je avoir un exemple, et je tâcherais de faire les suivants moi mêmes, en proposant, si vous le souhaitez, les résultats que je trouve !

Je suis reconnaissante de votre patience !

[titeelo11]

:hein: .

[Ben314]

On me demande de Calculer ensuite plusieurs surjections :
Nombre de surjections de En vers Ep pour p>n(Où En ensemble à n élément, et Ep ensemble à p élément)
Je sais qu'une surjection est un élément de En qui peux avoir plusieurs images dans Ep.
Le fait que p>n prouve que la surjection existe !

Bon, déjà, sur la formulation de la question, ça va pas du tout :

Une surjection, c'est pas du tout "un élément de En", c'est une application f (ayant une certaine propriété) de En dans Ep.

Sur un dessin, ça correspond à un certain nombres de "flèches" qui partent d'un éléments de En et qui arrivent à un élément de Ep.

Pour que ce soit bien une "application" il faut absolument (c'est une définition...) qu'il parte une flèche et une seule de chaque élément de En.

Lorsque LA flèche (y'en a forcément une et une seule) qui part d'un certain 'x' dans En arrive sur un 'y' dans Ep, on dit que :
- 'y' est l'image de 'x' par f (noter le "L apostrophe" qui dit "une seule image")
- 'x' est un antécédent de 'y' (noter le "UN" un 'y' donné peut avoir plusieurs ou aucun antécédents)
Conclusion : si f est une application de En dans Ep, tout élément de En a forcément une et une seule image

Par contre,
- Pour être une surjection, il faut en plus que tout y de Ep ait au moins un antécédent.
- Pour être une injection, il faut en plus que tout y de Ep ait au plus un antécédent.

En particulier, il est relativement clair que, pour qu'il existe au moins une surjection de En dans Ep, ben faut qu'on ait n>=p vu qu'il doit y avoir au moins une flèche qui arrive sur chaque élément 'y' de Ep et que deux flèches ne peuvent apsolument pas partir du même 'x'

[titeelo11]

Je me suis en effet bien trompé, mais l'image de la flêche est une bonne idée pour comprendre !
Si je comprends bien, On a donc Nombre de surjections de En vers Ep pour p>n = 0

Je dois calculer ensuite
1)Nombre de surjections de En vers En pour p>n
2)Nombre de surjections de En vers 2 pour p>n
3)Nombre de surjections de En vers 2 pour p>n

Pour le 1), j'obtiens n! ?