Géométrie du triangle

[mistou26]

Bonjour,

J'ai eu l'idée de ce problème à la lecture d'un article de "mathématique récréatives" dans une revue scientifique de renom. On y traitait, entre autre, des triangles équilatéraux inscrits dans un triangle quelconque.

En guise d'échauffement:
Soit un triangle ABC quelconque, et un point X sur la droite (AB).
Construire à la règle et au compas, le ou les triangles équilatéraux XYZ tels que Y soit sur la droite (BC) et Z sur la droite (CA).

On constate, à l'évidence, que si on fait varier X l'un des triangles équilatéraux ainsi construits est plus petit que tous les autres.

Le problème proprement dit est alors:
Soit un triangle ABC quelconque, construire à la règle et au compas, le plus petit triangle équilatéral XYZ tel que X soit sur la droite (AB), Y sur la droite (BC) et Z sur la droite (CA).

Remarque: Le triangle recherché n'a pas toujours ses sommets à l'intérieur des côtés du triangle d'origine (segments [AB], [BC] et [CA]) ... d'où la formulation utilisant les supports des côtés et non les côtés eux-mêmes.

Amusez-vous bien ... sinon faites autre chose !