Plynôme entier

par **benekire2** » 21 Déc 2010, 13:39

Bonjour,

Petit exercice autour des polynômes pour les lycéens :

Soit

un polynôme a coefficients complexes de degré

. On suppose qu'il existe un entier

tel que

soient dans

. Montrer que :

Bon travail :happy3:

par **AL-kashi23** » 21 Déc 2010, 16:12

Petit exercice classique des Mines aussi ^^

par **Ben314** » 21 Déc 2010, 16:16

Modulo une légère erreur d'énoncé : je pense qu'il faut lire :
"... tels que P(k),P(k+1),...,P(K+n) soient entiers..."

par **benekire2** » 21 Déc 2010, 16:43

Oui oui, c'est bien k+n ..
Perso ma solution est , je trouve , pas très simple [enfin disons que j'ai eu de la chance avec l'exo précédent]

par **arnaud32** » 21 Déc 2010, 17:26

surement avec des polynomes de lagrange

par **benekire2** » 21 Déc 2010, 17:56

arnaud32 a écrit:surement avec des polynomes de lagrange

Ben ce qui est sûr c'est que je change de base .. :we:

par **arnaud32** » 21 Déc 2010, 18:14

oui deja avec Q(X)=P(X+k) tu te ramenes a Q(0), Q(1),...,Q(n) entiers relatifs
apres tu peux faire

avec

et regarder ce que vaut

pour m entier relatif

par **benekire2** » 21 Déc 2010, 18:21

Perso, comme l'exo d'avant nous faisait montrer que la famille

est libre et donc une base de Rn[X] j'ai fais avec ça.

par **Nightmare** » 21 Déc 2010, 18:25

Autre méthode équivalente, considérer la base des

:

,

puis par récurrence

.

:happy3:

Edit : Cf méthode de Bene

par **Nightmare** » 21 Déc 2010, 18:35

Bon et si on suppose que les images de n carrés consécutifs sont entières et non plus n entiers consécutifs, qu'obtient-on ? (Q(0),Q(1), Q(2),..., Q(n²) dans Z => Q(i) dans Z pour tout i ?)

La réponse est non (contre exemple?) mais on obtient quand même quelque chose d'intéressant.

Peut-on généraliser? On suppose qu'il existe une fonction f : Z-> Z telle que Q(f(0)), Q(f(1)), ..., Q(f(n)) soient entiers, peut-on toujours en déduire que Q(f(k)) est entier pour tout k ?

par **Ben314** » 21 Déc 2010, 18:41

Nightmare a écrit:Peut-on généraliser? On suppose qu'il existe une fonction f : Z-> Z telle que Q(f(0)), Q(f(1)), ..., Q(f(n)) soient entiers, peut-on toujours en déduire que Q(f(k)) est entier pour tout k ?

Avec l'énoncé "tel quel" et... un peu de mauvaise foi, je prendrais bien f telle que
f(0)=f(1)=...=f(n)=0 et les autre f(k) un peu au pif...
Je pense que, dans ce cas, ça marche pas... :lol3:

par **Nightmare** » 21 Déc 2010, 18:44

Mauvaise foi oui mais réponse utile quand même :lol3: , ma question ainsi posée est en effet con-con.

Plus intéressant par contre on peut essayer de caractériser les f pour lesquelles ça marche.

par **Ben314** » 21 Déc 2010, 18:49

Bon, sinon, pour le problème de départ, la preuve qui me semble la plus simple est celle par récurence utilisant la dérivation discrète (deux petites lignes...)

Pour la généralisation du style
"Quels sont les n+1-uplets (a0,a1,...,an) d'entiers tels que, pour tout polynôme de degrés =P(a0),...,P(an) entiers => P(x) entier pour tout x"
je suis à peu prés sûr que la seule solution est que les ai soient des entiers successifs...
(à vos stylos...)

par **Ben314** » 21 Déc 2010, 19:01

Nightmare a écrit:Bon et si on suppose que les images de n carrés consécutifs sont entières et non plus n entiers consécutifs, qu'obtient-on ? (Q(0),Q(1), Q(2),..., Q(n²) dans Z => Q(i) dans Z pour tout i ?)

La réponse est non (contre exemple?) mais on obtient quand même quelque chose d'intéressant.

Je suppose qu'il est sous entendu que le polynôme doit être de d° au plus n.

est entier pour

mais pas pour

(le numérateur est non nul mais en valeur absolue strictement plus petit que

)

par **Nightmare** » 21 Déc 2010, 20:15

Ouaip ça marche bien. Par contre, on a dans ce cas précis que P(i²) est entier pour tout entier i ! (découle de l'énoncé de Benekire)

Plynôme entier

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