F(z)=z²+1

[nix386]

f: -> z->z²+1
f est elle injective surjective ?
dans le cas reel je connais mais comment on doit procéder dans le cas complexe

[Nightmare]

Salut,

as-tu réfléchi en utilisant les définitions? Quelle est la définition d'injective? Que suffit-il de faire pour montrer qu'une fonction est injective ou non? Même question pour surjective

[Ben314]

Salut,
Ben tu prend les définitions :
Soit y un élément fixé de l'ensemble d'arrivé (ici C) existe t'il un (des) x de l'ensemble de départ (ici C) tel(s) que f(x)=y ?
S'il y en a toujours (i.e. quelque soit y) au moins un alors f est dite "surjective" (définition)
S'il y en a toujours (i.e. quelque soit y) au plus un alors f est dite "injective" (définition)
S'il y en a toujours (i.e. quelque soit y) exactement un alors f est dite "bijective" (définition)

[nix386]

pour l injectivité
soit z et z' de C
f(z) = f(z') => z²=z'²=>z = +ou-z' donc f n est pas injective
pour la surjectivité
y=z²+1 admet toujours deux solution dans C donc f est surjective
c est ça ?

[benekire2]

pour l injectivité
soit z et z' de C
f(z) = f(z') => z²=z'²=>z = +ou-z' donc f n est pas injective
pour la surjectivité
z²+1 admet toujours deux solution dans C donc f est surjective
c est ça ?

Pour la surjectivité : Soit z' un complexe , peut-on trouver z€C tel que z²+1=z' ?

Et comme le suggère Ben, le mieux est encore de prendre direct l'équation z²+1=z' et de trouver ses solutions, s'il y en a une et exactement une f est bijective, au moins une f surjective etc ...

[Nightmare]

C'est correct dans le fond mais dans la forme ce n'est pas vraiment ça.

Pour l'injectivité, tu as prouvé que f(z)=f(z') dès que z et z' sont opposés. Ok, encore faut-il préciser qu'on va pouvoir trouver deux telles valeurs complexes différentes, c'est évident, mais il faut quand même le dire. Et du coup, vu le nombre de ligne pour dire tout ça, il serait bien plus clair de dire d'emblée "f(1)=f(-1) donc f n'est pas injective".

Pour la surjectivité, c'est vraiment pas clair "z²+1 admet toujours deux solutions dans C", ça ne veut rien dire... z²+1, c'est pas une équation, donc parler de ses solutions je ne vois pas trop ce que ça veut dire !