Ensemble de points tels que...

[isma.lem]

Bonjour,

Dans le but de me constituer un cours sur l'ensemble de points M du plan réalisant un certain nombre de conditions, en relation avec le produit scalaire, j'aimerais en connaître plus sur les méthodes à suivre pour déterminer l'ensemble de points M dans chacun des cas suivants, en connaissant les coordonnées de A et de B :

1/ MA + MB = k ( où k est un réel positif)
2/ MA-MB = k (où k est un réel non nul)
3/ MA.MB = k (où k est un réel positif).

Je sais que le premier devrait donner une ellipse, le deuxième une hyperbole et le troisième une hyperbole, mais je suis loin d'avoir connaissances des détails. Ce sont ces détails que je souhaite approfondir.

Merci.

[Ben314]

1/ MA + MB = k ( où k est un réel positif)
2/ MA-MB = k (où k est un réel non nul)
3/ MA.MB = k (où k est un réel positif).

Bon, en supposant que ce que tu note MA désigne la distance du point M au point A alors :
Le 1) est la définition bifocale d'une élipse.
Le 2) est la définition bifocale d'une des deux branches d'une hyperbole.
Le 3) ne correspond à rien de connu est est graphiquement parlant assez "pourri".

Et aprés, je sais pas ce que tu veut de plus comme "détails" : il y a des tonnes de façons de définir les hyperboles et les élipses et ces définitions sont parmi les plus simples (avec les définitions monofocales foyer/directrice).

Pour avoir un aperçu succin des différentes définitions possibles, tu peut regarder sur Wiki : http://fr.wikipedia.org/wiki/Conique

[fatal_error]

salut,

la premiere :


on cherche à simplifier leq sous la forme y_m^2/a + x_m^2/b= 1, et c'est gagné!
avec a et b positifs
donc on développe dans la joie et la bonne humeir

avec
on divisepour par 2

ensuite, on essaie de faire disparaitre les termes dans les parenthèses, notamment les termes en fonction de m

Si on bazarde ce truc dans (1), on peut virer tous les termes en x_m. Le but de la manip, c'est que la quantité qu'on retranche elle dépend plus de x!
donc on fait pareil pour y_m...
et obtient donc

ensuite, ben jpense que tu peux sentir, on pose:

pis on obtient

avec
pis si on divise tout par c (sous réserve que c positif)

qui a la gueule de lequation d'une ellipse

le 2, c'est pareil, sauf que faut se ramener a x^2-y^2=c cqui est comme cqu'on a fait pour la 1.
la 3, faut arriver a x^2-y^2 = c
on developpe le produit scalaire :
et on trouve un truc du genre x_m^2 + y_m^2 + des brouettes =c
donc ca me parait suspect l'hyperbole, mais jpeux mtromper..

[Ben314]

Dis donc, fatal_error, t'as pas un peu "oublié" les racines carrées dans les distances ?

Il me semblait me rappeller que ...

Mais, effectivement, comme c'était un peu chiant dans les calculs, on les a peut-être enlevé depuis mon époque, les racines carrées... :marteau:

[fatal_error]

généralise pas mes boulettes à l'époque actuelle, sinon elle tomberait bien bas XD

mais sinon, depuis mes souvenirs, ca rapporte du x^4...puis bon, faudrait developper et tout...dans l'espoir de retomber sur mes pates.
tant pis.

[Ben314]

Effectivement, en s'y prenant bien, on arrive à montrer par le calcul l'équivalence entre la définition bifocale et la définition analytique, mais c'est pas super joli :
Il me semble préfèrable de commencer par montrer l'équivalence entre la définition bifocale et la monofocale par la géométrie, puis, partant de la définition monofocale retrouver la définition analytique.

[isma.lem]

Merci bien pour vos reponses.
Qu en est-il du cas MA/MB = k ( où k est un réel positif).

Concernant la troisieme c etait bel et bien en vecteurs. Nous obtenons donc vect MA. vect MB = k ( où k est un réel)

Cela correspondrait il a la definition d une lemniscate ? Ou alors peut etre en distances et pas en vecteurs ?
C est ce dont j ai entendu parler sur un autre forum ( http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-college-lycee/443899-ensemble-de-points-m-queoeoeoe.html#post3320950 )

Je voulais dire par details aboutir a l equation d une forme connue (hyperbole par exemple)

Merci

( l omission des accents est deliberee )

[Ben314]

Si tu veut atterrir "direct" sur une forme connue, sans passer par la géométrie, tu as fortement intérêt à chager de repère pour poser A:(a,0) et B:(-a,0) puis tu écrit que : racine((x-a)²+y²)=k-racine((x+a)²+y²) tu élève au carré, tu simplifie, tu garde la dernière racine d'un coté et le reste de l'autre et tu réélève au carré : tu tombe sur un truc qui est bien une élipse.
Idem pour la branche d'hyperbole.

Pour MA.MB=k (en distances), je sait pas ce que c'est (si c'est connu) : cherche sur http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml

Pour , introduit le milieu I de [AB] dans les deux vecteurs, développe et tu verra que c'est un cercle de centre I (ou bien l'ensemble vide si k est trop petit)

Pour MA/MB=k (en distances), écrit le MA²-kMB² =0, factorise ton truc comme un produit scalaire, introduit 2 barycentres et tu verra que c'est de nouveau un cercle (sauf si k=1 ou la solution est triviale : c'est la médiatrice)