Exo sur point fixe

par **romain6929** » 16 Déc 2010, 14:30

Bonjour,
J'ai un exo qui consiste a résoudre un systeme non linéaire avec dichotomie et méthode de point fixe, et je bloque sur la derniere question

donc en fait le but c'est de chercher un zéro de la fonction :

x -> exp(x/2) - (3/2) (de R dans R)

avec les questions j'ai montré qu'elle s'annulait sur J= [0,2]

avec la méthode de dichotomie j'ai trouvé 21 itérations min nécessaires pour calculer cet unique zéro qu'on note alpha et avec une précision de 2^-20

pour utiliser la méthode du point fixe j'ai pris la fonction g = x - f(x)
elle est stable sur [0,2] , et je trouve aussi 21 itérations pour la m^me précision

et la la derniere question j'y arrive pas :

pour w R* on considere la fonction d'iteration :

Gw : R -> R
x |-> x + wf(x)

il faut donner un intervalle omega (le plus grand possible) tel que w appartient à omega, l'application Gw est contractante au voisinage de alpha
existe t il un w pour lequel la méthode d'itération de Gw est d'ordre 2

par **windows7** » 16 Déc 2010, 14:47

salut,

tu bloque ou ?

par **romain6929** » 16 Déc 2010, 14:54

ben toute la question en faite ... jusque l'a j'ai bien compris l'exo mais cette question j'y arrive pas

par **romain6929** » 16 Déc 2010, 14:58

il faut que Gw soit contractante au voisinage de alpha donc on doit avoir :

|x + wf(x) - y - wf(y)| < k |x - y|

k appartient a [0,1[

donc a partir de la il faut que je trouve k ? en utilisant th des accroissements finis ?

par **windows7** » 16 Déc 2010, 14:59

si on dit que le point fixe est alpha, et on se place sur le vosinage V=[alpha-e,alpha+e] de alpha,
Gw y est contractante <=> |x+wf(x)| si on prend w positif c'est simple non ?

par **romain6929** » 16 Déc 2010, 15:01

par **windows7** » 16 Déc 2010, 15:06

mdr oui tu as raison j'ai confondu avec stable.
bon bah c'est plus simple encore du coup gw est contractante sur V=[alpha-e,alpha+e] <=>
|(x+wf(x))' |< 1 <=> |1+w*0.5e^(0.5x)|<1
c'est bon du coup ?

par **romain6929** » 16 Déc 2010, 15:09

ok je comprend , par contre que dois on conclure de ça ?

par **windows7** » 16 Déc 2010, 15:12

sur V la fonction 1+w*0.5e^(0.5x) est soit croissante soit decroissante selon le signe de w, au final tu trouve bien l'interval pour w non ?

par **romain6929** » 16 Déc 2010, 15:13

A partir de ça je dois chercher x tel quon ait bien l'inegalité?

par **windows7** » 16 Déc 2010, 15:14

non le w !

par **romain6929** » 16 Déc 2010, 15:17

ah oui pardon,
si w est positif la fonction est strictement croissante,
si w est négatif la fonction est strictement décroissante ...

par **romain6929** » 16 Déc 2010, 15:18

pour voir quand la fonction Gw' est inferieur a 1 je peux utiliser l'étude de signe de Gw'' ?

par **romain6929** » 16 Déc 2010, 15:35

omega = ]-infini, 1[ ?

par **windows7** » 16 Déc 2010, 15:42

:triste: ca serait etonnant que sa ne alpha et e ne rentrent pas en compte .. ( mais possible )

par **romain6929** » 16 Déc 2010, 15:49

x il appartient a [0,2] ? vu qu'on est dans le voisinage de alpha et dans les questions precedentes on a vu qu'il etait compris ds cet intervalle ..
je suis vraimentnul de bloquer sur cette question :(

par **windows7** » 16 Déc 2010, 16:04

j'abandonne

par **romain6929** » 16 Déc 2010, 16:09

:(
omega = [0, + infini[ ? .. .

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