Equ. Diff : Pont de Graëtz

[Einheijar]

Bonjour , voici mon soucis :

J'ai l'equation : L di/dt + Ri = Um sin (wt).

L,R,Um sont des constantes.
U(t) = Um sin(wt)

i est une fonction donnant l'intensité du courant à l'instant t.
i(0)=0

j'ai posé :

x= i
x'=di/dt

l'équation devient : L x' + R x = Um sin (wt) (E1)

On résoud tout d'abord sur [0,pi/w] l'équation sans second membre :

Lx' + Ri =0

La solution générale : x(t) = C*e(-R/L*t)

On cherche une fonction dérivable z telle que la fonction t-> z(t)e(-R/L*t) soit solution de (E1)


on pose : x=z*e(-R/L*t)

(E1) devient

L ( z' * e(-R/L*t) - R/L*z*e(-R/L*t) ) + R( z*e(-R/L*t)) = Um*sin(wt)

On obtient :

z' = Um*sin(wt) / L e(-R/L*t)
Um*sin(wt) * L * e(+R/L*t)
Comment obtenir z ??

Merci de votre réponse

[serge75]

En gros, si j'ai bien compris, ton soucis est d'obtenir une primitive d'une expression du type z'=sin(wt).exp(bt).
Tu dis alors que z' est la partie imaginaire de:
exp((iw+b)t).
Laquelle expression a pour primitive
De là tu récupère ta partie imaginaire et tu as bien obtenue une primitive.

[Einheijar]

En gros, si j'ai bien compris, ton soucis est d'obtenir une primitive d'une expression du type z'=sin(wt).exp(bt).
Tu dis alors que z' est la partie imaginaire de:
exp((iw+b)t).
Laquelle expression a pour primitive
De là tu récupère ta partie imaginaire et tu as bien obtenue une primitive.

et en effet je recherche une primitive de z'.
Mais avec ta méthode, je vois pas comment faire ...

j'espere que ce n'est pas le "z" qui te met sur la voie des nombres complexes ! car ce z est un nom choisis comme ça .... ça aurait peut etre "f"

[serge75]

Non ce n'est pas ton z qui me met sur la voie des complexes, mais la forme de ta focntion z' à primitiver. Je rectifie un lapsus dans mon post précédent :
îl faut lire 'laquelle expression a pour primitive
Sin on achève le calcul, cette expression vaut :

On récupère la partie imaginaire pour obtenir finalement la primitive voulue de z' (à une constante près) :

[Einheijar]

Non ce n'est pas ton z qui me met sur la voie des complexes, mais la forme de ta focntion z' à primitiver. Je rectifie un lapsus dans mon post précédent :
îl faut lire 'laquelle expression a pour primitive
Sin on achève le calcul, cette expression vaut :

On récupère la partie imaginaire pour obtenir finalement la primitive voulue de z' (à une constante près) :

merci pour le coup de main.

Tu as mis :



ce n'est pas plutot :


?

ensuite j y vais par identification et le tour est joué?

[serge75]

Non : tu extrais semble-t-il la partie réelle alors qu'on veut la partie imaginaire.
Par contre ma réponse finale concerne bien sûr z et non z' (lapsus).

[Einheijar]

Voici l'énoncé en entier au cas où, je ferais un faux départ ...


La question 1 : Resoudre : L.di/dt + R.i = 0

ensuite :
( je bloque ici )
2)Déterminer les constantes A et B pour que la fonction i0 définie sur [0;pi/w] par :

i0(t) = A cos(wt) + B sin (wt)

soit une solution particulière de l'Equation differentielle

L.di/dt + R.i = Um.sin(wt)

condition initiale : i(0)=0




nous avons :

U(t) = Um.sin(wt)
Um,w = constante

[mln]

Tu remplaces i0 dans ton équation avec second membre
i0(t) = a cos(wt)+ bsin(wt)
di0(t)/dt+r/l*i0(t) = Um sin(wt)

di0(t)/dt+r/l*i0(t) = (...)sin(wt) + (...)cos(wt) = Um sin(wt)
tu identifies
tu retrouves avec un système à 2 équations et 2 inconnues a et b
Bon courage

[Einheijar]

bizarre :

(-a L + b R)sin(wt)+ ( b L + a R ) cos (wt) = Um sin(wt)

lorsque
t = 0
(-a L + b R)sin(wt)+ ( b L + a R ) cos (wt) = 0

0 + (b.L + a.R)*1 =0


a = 0
b = 0

C'est etrange :/

[mln]

Il faut le faire pour tout t.
(-a Lw + b R)sin(wt)+ ( b L w + a R ) cos (wt) = Um sin(wt) +0*cos(wt)

On identifie les coefficients des sin et cos et ca donne le système:
-a Lw + b R = Um
b L w + a R = 0
Bon courage