Dérivée d'une vecteur par un autre....

[aragrn5]

Bonjour,
j'ai un petit problème pour dériver un vecteur y=[a;b;c] par un autre de coordonnées x=[a;(1-a)b;c] ....
en gros je me demande si il n'y aurai pas une bonne âme qui arrive à m'expliquer comment faire dy/dx...
il me semble que le résultat est proche d'une jacobienne et donc ressemble à une matrice 3x3.
Genre
dy/dx = dy1/dx1 dy2/dx1 dy3/dx1
dy1/dx2 dy2/dx2 dy3/dx1
dy1/dx3 dy2/dx3 dy3/dx3

ce qui donne quelque chose comme :
dy/dx = 1 0 0
? ? 0
0 0 1
mais je sèche un peu sur les dy1/dx2 et dy2/dx2
en gros comment dérive t-on la fonction f(a) = a par (1-a)b
et f (b) = b par (1-a)b ???

[arnaud32]

en effet tu ecris y=(f(u,v,w),g(u,v,w),h(u,v,w)) avec x=(u,v,w)
et tu calcules les differentielles de f,g,h que tu ecris en lignes

[aragrn5]

Ok merci beaucoupp,
C'est bien ce qu'il me semblait mais du coup la question cela donne quoi le différentiel de g[u , v, w] par rapport a ma fonction x[u, (1-u)v , w]
En gros quelle est la deuxième ligne de ma matrice.
Désolé je suis un peu rouillé sur les dérivées et faire du/d(1-u)v et dv/d(1-u)v ça me bloque un peu.... :mur:

[Doraki]

Tu veux faire quoi exactement ?
La dérivée d'un vecteur par rapport à un autre vecteur, genre d(1,2,3)/d(4,5,6), ben ça veut rien dire.

[aragrn5]

dans mon exemple les valeurs a b c sont des variables et non pas des entiers.... Désolé si j'ai été un peu trop vite, et merci pour ta grande compréhension. Une lecture de la réponse d'Arnaud32 et de mon premier poste aurai pu te mettre sur la voie...

[Doraki]

En général on dérive une fonction par rapport à une variable, là j'ai l'impression que tu veux dériver des variables par rapport à des fonctions.

[aragrn5]

Non puisque je passe par une sorte de Jacobienne (je ne suis pas sur que s'en est réellement une) donc je dérive chaque fonctions (il y en a 3: a, b, c) de mon vecteur y par chaque variable (a, (1-a)b, c) des fonctions x;
Je suis pas sûr d'être très claire mais l'exemple de mon premier poste est correct et la réponse d'Arnaud va dans ce sens également.
en gros je dérive a par a = 1, puis b par a = 0 et ainsi de suite le problème arrive que je dérive a par (1-a)b ... je ne suis pas certain, je vais sûrement dire une grosse bêtise mais il me semble que c'est une question dérivée de fonction réciproques.

[Doraki]

Euh "(1-a)b", c'est pas ce que j'appelle une variable.

Une variable, c'est plutôt le nom d'un argument d'une fonction.
Par exemple si on dit "soit f la fonction qui à x dans R associe x²+2",
x est la seule variable de la fonction f.
On ne peut pas dire "soit f la fonction qui à xy+z dans R associe y", ça n'a absolument aucun sens.

Alors oui, il y a peut-être une histoire de fonction réciproque dans ton problème, et tu ferais bien de poser clairement qu'est-ce qui est une fonction, qu'est-ce qui est une variable, et de donner des noms différents aux fonctions et aux variables, pour qu'on puisse comprendre ce que tu essayes de calculer.

[aragrn5]

Bon il me semble que c'est quelque chose comme cela
pour le premier terme
soit g(y) = x avec y = (1-x) b
f(x)= (1-x)b

on a par le théorème de fonction réciproque

g'(x) = 1/f'(g(y))

g'(x)=1/-b


pour le deuxième terme

g(y) = x avec y = (1-a) x

on a par le théorème de fonction réciproque

g'(x) = 1/f'(g(y))
g'(x) = 1/(1-a)


ce qui me donne dy/dx (je parle ici de mes vecteurs je repasse avec mes variables a b c)

dy/dx=
1 0 0
1/-b 1/(1-a) 0
0 0 1

j'ai juste là ?

[Doraki]

f et g sont des fonctions de quoi dans quoi ?
ça vaut combien, f(3), g(2) ?

d(a,b,c)/d(a,(1-a)b,c), du/d(1-u)v, et dv/d(1-u)v, ça veut toujours rien dire.

[aragrn5]

normalement on pourrait être sur tous R différent de 0 pour b et x dans le premier terme et tous R avec a différent de 1 et x différent de 0 pour le second. non?

[Doraki]

mais c'est quoi b ?

quand tu dis "soit g(y) = x avec y = (1-x) b" c'est précisément ce que j'ai dit que t'avais pas le droit de faire pour définir une fonction.

Si j'te demande g(2) bah j'vois pas comment tu peux me répondre quoi que ce soit.


Une fonction c'est genre "soit f(x) = x+1" ou bien "soit f(x,y) = xy" ou alors "soit f(a,b,c) = (a,(1-a)b,c)".
Une fonction c'est une machine tu lui donnes un ou plusieurs nombres et ça te donne un résultat en fonction de ce que tu lui as donné.

C'est pas "tiens j'te donne le produit xy, tu fais de la magie dans ton coin et tu me devines le x auquel je pensais".

[aragrn5]

oui tu as raison, et apparemment tu as bien compris mon problème... on en revient a ma question de départ qui je pense a mieux été formulé par arnaud32 écrire
y=(f(u,v,w),g(u,v,w),h(u,v,w)) et x=(u,(1-u)v,w)
et calculer les différentielles de f, g, h. pour obtenir dy/dx....
Si je pose la question c'est que de base je ne sais pas y répondre et je ne sais pas mieux le formuler sinon je le ferais moi même....
J'ai mis b car je pense qu'il joue comme une constante indépendante dans un cas et dans l'autre cas il joue comme une variable.
C'est peut-être due au faite que l'on soit dans une matrice non? je ne sais pas c'est pour cela que je cherche quelqu'un qui peux m'expliquer....

[Doraki]

ou tu as trouvé la question ? comment elle a été posée ?

tu as mal interprété ce qu'arnaud a dit.
si j'appelle u,v,w les 3 "coordonnées" du vecteur x, on peut traduire la donnée de x par une relation entre (u,v,w) et (a,b,c),
à savoir u = a ; v = (1-a)b ; w = c.

Si tu prends {((a,b,c),(u,v,w)) dans R^3 * R^3 tels que u=a ; v=(1-a)b ; w=c},
clairement, c'est le graphe d'une fonction qui à un triplet (a,b,c) associe le triplet (u,v,w) = (a,(1-a)b,c).
On sait calculer (u,v,w) en fonction de (a,b,c) et on pourrait appeler cette fonction f.
f(3,4,5) = (3,-8,5)

Ce que l'énoncé demande super mal, c'est de regarder si ce serait pas aussi le graphe d'une fonction inconnue qui à un triplet (u,v,w) associerait le seul triplet (a,b,c) tel que u=a, v=(1-a)b, w=c.

Seulement à partir de ce moment là, tu peux concevoir une fonction qui à (u,v,w) associe (a,b,c), et qui serait techniquement la fonction réciproque de f.
Mais déjà pour ça il faut montrer que f est inversible.

Ensuite, y'a 2 moyens de poursuivre.
Soit tu cherches une écriture concrète explicite du calcul de a,b,c en fonction de u,v,w, donc de "calculer" la réciproque de f, puis tu calcules sa différentielle.

Soit tu utilises un théorème de différentielle d'une fonction réciproque, à savoir, si tu mets tout le monde sous forme matricielle, que d(réciproque de f) = (inverse de df) composé je sais plus trop comment avec la réciproque de f, qui n'est de toutes façons pas une matrice, mais là de toutes façons il faudra que tu calcules la réciproque de f donc j'te conseille la première méthode qui est plus concrète.
Raisonner uniquement en termes de matrices, c'est ptetre plus facile ou ça va plus vite, mais c'est dangereux parcequ'on perd une pléthore d'information quand on retient seulement la forme matricielle des gens, du genre de qui je parle, quelle sont les variables, est-ce que ça a un sens de multiplier cette matrice là par celle là ou est-ce que c'est n'importe quoi etc.

[aragrn5]

merci,
C'est plus clair quand tu poses les choses;
En faite ce n'est pas un problème ni un exercice donc il n'y a pas d'énoncé...
j'ai juste une formule que je voudrais vérifier car j'ai l'impression que cela ne marche pas et qu'il y a une erreur quelque part...
ils donnent comme solution de dy/dx sachant que y = [ a , b , c ] et que x = [ a, (1-a)b , c]
dy/dx =

1 ; 0 ;0
b/(1-a) ; 1/(1-a) ; 0
0 ; 0 ;1

j'ai des gros doutes sur la deuxième ligne c'est pourquoi j'ai posé cette question... mais apparemment c'est plus compliqué qu'il n'y parait.... si quelqu'un peu me dire si c'est correct ou non ce serait cool...

[Ben314]

Salut,
En faisant texto ce qui est suggéré par Doraki, je trouve effectivement la même chose que la solution...

Sinon, je pense que, si les formules u=... ,v=... , w=... étaient un peu compliquées à inverser, il vaudrait mieux "faire un peu de théorie" pour voir que l'on peut obtenir ton dy/dx en partant de dx/dy, mais comme ici les formules sont triviales à inverser, il est sans doute plus sûr de le faire "à la main" (2 lignes...)