Etrêma liés ( sous contrainte )

par **francois3526** » 14 Déc 2010, 18:18

Bonjour j'ai un exercice et je sèche complètement dessus depuis hier.. voici l'énoncé :

Soit f(x,y)= (x^3)-(y^3)+ xy. Déterminer pour tout réel a, les points les plus proches et les points les plus loins de l'origine sur la courbe de niveau f(x,y)=a

Merci pour votre aide.
François.

par **windows7** » 14 Déc 2010, 18:23

salut,

autrement dit on cherche :

min (x²+y²) sous la contraite x^3-y^3+xy=a

tu connais les multiplicateurs de Lagrange ?

par **francois3526** » 14 Déc 2010, 18:25

bah non pas du tout on a pas vu ça en cours! mais je dois faire ça avec cette méthode on m'a dit.

par **windows7** » 14 Déc 2010, 18:31

le systeme donne

2x= k ( 3x²+y)
2y= k(-3y²+x)

par **francois3526** » 14 Déc 2010, 18:35

Merci! Au début je fais mon gradient : Grad(3x²+y;-3y²+x) enfin ça tout le monde pourrais réussir a faire ça ^^
comment trouves tu ton système?
2x= k ( 3x²+y)
2y= k(-3y²+x)

par **francois3526** » 14 Déc 2010, 19:10

désolé si mes questions son bêtes mais on nous a lâché dedans sans même voir le cours..

par **francois3526** » 14 Déc 2010, 19:56

je crois avoir un truc si on prend le point a(Xa,Ya)
alors la distance du points a a l'origine sera : racine((Xa)²+(Ya)²)
on met ça au carré (Xa)²+(Ya)²
si on derive sa : 2xa+2ya
donc gradg(2x,2y)
gradf(3x²+y,-3y²+x)

j'obtient une équation :

x(3x²+y)=y(-3y²+x)

et euh je rebloque!^^

par **windows7** » 14 Déc 2010, 20:08

c'est la theorie qui donne ca.
bah resoud le systeme

par **francois3526** » 14 Déc 2010, 20:13

oui enfin je vois pas quoi faire une fois résolu ^^
désolé avais oublié de mettre le résultat trouvé :
(x^3)=(-y^3)

par **francois3526** » 14 Déc 2010, 20:46

c'est bon! j'ai trouvé enfin je n'affirme pas que c'est correcte mais bon..
x=1/3 et y=-1/3
et je pense qu'il faut réinjecter ça dans la fonction de départ et c'est terminé!

par **windows7** » 14 Déc 2010, 20:49

ca doit dependre de "a" en tt logique

par **francois3526** » 14 Déc 2010, 20:51

oui je sais pour ça que je trouve ça bizarre de trouver un truc constant..

par **francois3526** » 14 Déc 2010, 22:59

Merci en tous cas.
Je m'étais trompé de fonction pour remplacer mon x=-y
j'ai bien un résultat en fonction de a.
merci de ton aide!

par **Ben314** » 14 Déc 2010, 23:07

Salut
Désolé de mettre mon grain de sel, mais la méthode consistant à regarder si les deux différentielles sont colinéaires donne uniquement les extrémas LOCAUX et, dans le cas de ta fonction, je me demande si la courbe correspondant à f(x,y)=a est bornée (si elle ne l'est pas, le point le plus loins de l'origine n'esiste pas...)

Edit : en fait il est clair que la courbe n'est pas bornée car pour tout y et a fixés l'équation (en x) f(x,y)=a est polynomiale de degré 3 donc a au moins une solution.

par **windows7** » 15 Déc 2010, 12:26

heu sa marche tres bien pour le point le plus proche

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