Démo paramétrage hyperbole

[Actéon]

bonjour,

je cherche une démonstration pour affirmer que l'hyperbole d'équation x^2/a^2 -y^2/b^2 =1 admet comme paramétrage x(t) = a ch(t) ; y= b sh(t) pour la première branche et x(t) = - a ch (t), y(t)=b sh(t) pour la deuxieme branche

evidemment un point M(t) appartient a l'hyperbole. mais pour montrer la réciproque, ou montrer que toute la courbe est décrite, je ne trouve pas ça évident

eventuellement on peut raisonner par équivalence en écrivant : u^2 - v^2 = 1 ssi il existe t tel que u = cht ou -cht et v = sht, mais à ma connaissance ce n'est pas classique comme pour le cercle, enfin je sais pas trop comment le démontrer d'ailleurs :-s

merci

[benekire2]

tout réside dans u²-v²=1 => il existe un réel t ... patati patata , et ça tu peut le démontrer en te rapelant de la démonstration de x²+y²=1 <=> il existe ... :

on peut traiter plusieurs cas, genre x>0 et y>0 alors x€ [0,1] donc il existe ..

Mais honnêtement , je suis persuadé que tu as vu quelque part dans ton cours ce paramétrage et tu peut l'utiliser bien sûr sans devoir le redémontrer , mais bon, fais le :ptdr:

[Actéon]

tout réside dans u²-v²=1 => il existe un réel t ... patati patata , et ça tu peut le démontrer en te rapelant de la démonstration de x²+y²=1 il existe ... :

on peut traiter plusieurs cas, genre x>0 et y>0 alors x€ [0,1] donc il existe ..

Mais honnêtement , je suis persuadé que tu as vu quelque part dans ton cours ce paramétrage et tu peut l'utiliser bien sûr sans devoir le redémontrer , mais bon, fais le :ptdr:

non en fait en me levant ce matin -lol- je me suis rendu compte...
il suffit de dire que sh est une bijection de R vers R et donc qu'on peut toujours poser y = sh t

ensuite on obtient x^2 -y^2 = 1 y = sht et x = (cht)^2 y = sht et [x = cht ou x =-cht] ce qui donne bien les 2 branches de l'hyperbole

...il me semble que c'est ok, mais merci à toi!