[MP] Convergence uniforme

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euler21
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[MP] Convergence uniforme

par euler21 » 10 Déc 2010, 20:17

Bonjour
on s'est donné dans un exercice la suite de fonctions définies par sinon (on travaille dans R+). On montre facilement que cette suite converge simplement vers la fonction
Pour la convergence uniforme, on montre d'abord que pour tout n , et on divise naturellement R+ en deux intervalles : [0,n] et . Pour le premier intervalle, je veux utiliser la méthode suivante :
En posant cette fonction étant continue sur cet intervalle, elle atteint son maximum en un point pour lequel la dérivée est nulle. Tout calcul fait en prenant en compte cette condition nous donne .
Seulement pour appliquer cette méthode, je dois être sûr que soit un maximum local (différent de 0 et n)
Quelqu'un pourrait m'indiquer comment le prouver ??
Merci d'avance



Nightmare
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par Nightmare » 10 Déc 2010, 21:17

=Salut,

qu'entends-tu par "montrer que t0 est un maximum local"? C'est la définition de t0 non?

Bref, sinon, pour x dans [0,n]

Une étude rapide du second facteur montre qu'il s'annule bien en un certain (tn) sur [0,n] et gn est alors croissante sur [0,tn], décroissante sur [tn,n] et nulle après.

Alors

Puis, par définition et on arrive à (étude rapide de x->xexp(-x) qui est majorée par exp(-1))

Alors et la convergence est bien uniforme sur [0;+oo[

:happy3:

euler21
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par euler21 » 12 Déc 2010, 19:33

Nightmare a écrit:Puis, par définition

Je pense que cette égalité satisfaite par est aussi vraie pour 0 :triste:

Nightmare
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par Nightmare » 12 Déc 2010, 19:47

Et ? Ca ne l'empêche pas d'être aussi satisfaite par tn > 0.

euler21
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par euler21 » 12 Déc 2010, 21:01

Oui justement: comment être sûr qu'elle est vérifiée pour un autre
A vrai dire l'étude de la dérivée de la fonction me pose problème ...

Nightmare
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par Nightmare » 12 Déc 2010, 21:41

Comme je te l'ai dit, il suffit d'étudier la fonction x->exp(x) (1-x/n)^(n-1)-1 (le second facteur). Quel que soit n, 0 est racine, et on a une autre racine strictement positive inférieure à n.

 

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