Nombre premier

[mathlegend]

bonjour
montrer que
A= n'est pas un nombre premier

[sad13]

t sérieux?

[Ben314]

Salut,

bonjour
montrer que
A= n'est pas un nombre premier

Il est clairement divisible par 11.

[Ericovitchi]

ho oui et même 1000000000000000000001 = 7²×11×13×127×2689×459691×909091

[Ben314]

ho oui et même 1000000000000000000001 = 7²×11×13×127×2689×459691×909091

Oui, mais là, je pense que tu as un peu triché... :zen:

[Phil]

Bonjour,

Pas si évident que cela ?
Je passe en revue les nombre premiers:

1000000000000000000001 = 10^21 +1
- pas divisible par 2, ni 3, ni 5 selon les règles habituelles,
- pour 7 , j'utilise l'arithmétique modulaire 10^21 modulo 7 = 3^21 = (3^3)^7 = 27^7 =(-1)^7 =-1 modulo 7
d'où 10^21 +1 modulo 7 = -1+1 = 0 :
le nombre 1000000000000000000001 est divisible par 7

- pour 11 : 10^21 modulo 11 = (-1)^21 = -1
et 10^21 +1 = -1+1 = 0
le nombre 1000000000000000000001 est divisible par 11 (c'est effectivement immédiat)

- pour 13 : 10^21 modulo 13 = (-3)^21 = (-3x-3x-3)^7 = (-27)^7 = (-1)^7 modulo 13
et 10^21 +1 = -1 +1 = 0
le nombre 1000000000000000000001 est divisible par 13

Après, c'est trop compliqué....

Cordialement

Phil

[Phil]

Bonjour,

:we: Une façon simple de montre que 1000000000000000000001 est divisible par 11 sans passer par les congruences ...

1000000000000000000001 = 10^21 +1

Or 10^21 = ( 11 -1)^21 et en développant (formule du binôme) = 11K + (-1)^21 = 11K -1
avec K : résultat du développement avec le triangle de Pascal...

d'où 1000000000000000000001 = 11K -1 +1 = 11K c'est donc un multiple de 11...
cqfd

Phil

[nodjim]

Euh, pour 11, on regarde la différence entre la somme des chiffres de rang pair et celle des chiffres de rang impair, et ça doit être 0 modulo 11. Par exemple.

[nodjim]

Bonjour,

:we: Une façon simple de montre que 1000000000000000000001 est divisible par 11 sans passer par les congruences ...

1000000000000000000001 = 10^21 +1

Or 10^21 = ( 11 -1)^21 et en développant (formule du binôme) = 11K + (-1)^21 = 11K -1
avec K : résultat du développement avec le triangle de Pascal...

d'où 1000000000000000000001 = 11K -1 +1 = 11K c'est donc un multiple de 11...
cqfd

Phil

Phil, ce pseudo ne m'est pas inconnu....

[Phil]

Bonsoir,
Bien sûr Nodjim, je connais la règle de divisibité par 11 depuis longtemps et c'est ce qu'on apprend au Lycée.
Le problème n'est pas là:

Il ne s'agit pas d'apprendre des règles "par coeur" mais de savoir pourquoi on les applique...

A noter que si on généralise ce que j'ai écris, on retrouve cette règle....


Cordialement

Phil

[Ben314]

Pour la divisibilité par 11, j'aime bien aussi le faire "a la main" (i.e. sans récurrence ni triangle de pascal) :

Si n est pair alors 10^n-1=99...99 avec un nombre pair de 9 qui est divisible par 99 : 99...99=99x1010...101 donc évidement il est divisible par 11. Cela montre que 10^n=11k+1 (et ça montre aussi que k=90909...0909)

Si n est impair alors 10^n-10=99...990 avec un nombre pair de 9 (et un 0 à la fin) qui est aussi divisible par 99 donc par 11. Cela montre que 10^n=11k+10=11(k+1)-1 (et ça montre aussi que k+1=90909...09091)

[Phil]

Bonsoir,
Point de vue très intéressant Ben314
J'en prends note .

Merci et à plus

Phil.

[nodjim]

Bonsoir,
Bien sûr Nodjim, je connais la règle de divisibité par 11 depuis longtemps et c'est ce qu'on apprend au Lycée.
Le problème n'est pas là:

Il ne s'agit pas d'apprendre des règles "par coeur" mais de savoir pourquoi on les applique...

A noter que si on généralise ce que j'ai écris, on retrouve cette règle....


Cordialement

Phil

Ben oui. Pour tout nb premier, on peut créer une règle de divisibilité pour l'unité, la dizaine, la centaine, etc...et la retrouver facilement. ça ne fait pas beaucoup avancer la méthode de recherche de facteurs pour les grands nombres quand les facteurs premiers sont des grands nombres.

[Phil]

Ben oui. Pour tout nb premier, on peut créer une règle de divisibilité pour l'unité, la dizaine, la centaine, etc...et la retrouver facilement. ça ne fait pas beaucoup avancer la méthode de recherche de facteurs pour les grands nombres quand les facteurs premiers sont des grands nombres.

Bonjour,
Sans doute, la factorisation est un problème très difficile (c'est pour cela qu'elle est utilisée en crypto...)
Mais je reprends mon idée et je la généralise en exploitant le fait que 21 = 3x7 et que
10^21 = (10^3)^7 = (10^7)^3

Du coup, comme j'ai fait pour 10^21 + 1 = (11-1)^21 +1
On a aussi 10^21 +1 = (10^3)^7 + 1 = (1001 -1)^7 +1
1001 est "petit" donc on sait facilement le factoriser : 1001 = 11*13*7
Avec le même raisonnnement que mon message précédent
(1001 -1)^7 +1 = (11*13*7 -1)^7 +1 = (11*13*7)K + (-1)^7 + 1 = (11*13*7) K
(avec K résultat du calcul avec triangle de Pascal)

Même chose en inversant 3 et 7 :
10^21 +1 = (10^7)^3 + 1 = (10000001 -1)^3 +1
Là, 10000001 est plus difficile à factoriser mais on sait que c'est divisible par 11..
10000001 = 11*909091 avec 909091 premier (je l'ai vérifié, je l'avoue, avec une calculatrice)
Alors (10000001 -1)^3 +1 = (11*909091 -1)^3 +1 = (11*909091)K' + (-1)^3 + 1 = (11*909091) K'

Bref, on trouve en quelques lignes 4 facteurs de 1000000000000000000001 : 11, 13,7 et 909091

C'est loin d'être parfait car on ne trouve ni 127, ni 2689, ni 459691 et cela n'explique pas que 7 soit au carré...

Mais cela répond un peu à votre remarque : cela peut être, à mon avis, une façon de chercher des facteurs pour des grands nombres de type particulier..

Cordialement

Phil