Reduction d'equation pour conique

[jeje290]

Bonjour !
Voilà j'essaie de réduire une équation de type ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0
Donc je calcule le discriminant et il est positif. D'après mon cours c'est donc de type ellipse (Ellipse,Cercle ou ensemble vide) mais ensuite dans mon cours il y a écrit "Méthode de réduction". Donc j'ai essayé avec 2xy-2sqrt(2)x-1=0
Comme je l'ai dit, j'ai trouvé un discriminant de 4>0 donc type ellipse mais là je bloque sur la réduction pour la mettre sous forme (x²/a²)+(y²/b²)=1 en faisant disparaitre les termes en xy.

Merci d'avance pour votre aide.
Jérôme.

[Ben314]

Pour faire "disparaitre" les termes en xy, il faut faire une rotation du repère, c'est à dire faire un changement de repère du type :
x=cos(a)x'-sin(a)y'
y=sin(a)x'+cos(a)y'
(matrice de rotation)

[fatal_error]

salut,

voilà une approche

On réécrit sous forme matricielle :


Soit :

On veut se débarasser du terme
On pose le changement de variable , avec Y à définir
On dev
qui nous donne :

Le premier terme est à garder.
on remarque parce que M est symétrique que :

donc on voudrait un Y tel que

Enfin il faudra retrancher avec la solution obtenue de (1)
On solve (1) :
sous réserve que M est inversible
pis on déduit Y.

Enfin, On calcul le terme "c" à retrancher

Et on obtient alors

soit encore

Ensuite, pour virer les elements x'y', il reste plus qu'à diagonaliser!

un truc dans le genre...

edit : grillé par ben...

[jeje290]

Oui, j'ai vu le changement de repère dans mon cours mais c'est justement ceci que je n'ai pas compris, et comme il n'y a aucun exemple, j'ai du mal à assimiler la méthode.
Est-ce que quelqu'un pourrait me faire un exemple ( je suis parti avec 2xy-2sqrt(2)-1=0 [ sqrt=racine carrée ] mais avec un autre exemple c'est tout aussi bien. )
Merci.

[fatal_error]

re,

c'est un peu un cas particulier...
(1)
avec legalité du parallélogramme, il vient

ya plus qu'à remplacer dans (1)

soit en posant
et

soit encore

avec

en particulier on remarque que la matrice de passage M telle que

est

En normal cette matrice, (on divise par ), on obtient une matrice de rotation ou réflexion chais plus (le déterminant vaudra +- 1), les vecteurs (1 1) et (1 -1) étant orthogonaux

[jeje290]

Et sur ce cas on ne peut pas utiliser la méthode de changement de repère pour faire disparaître le terme en xy ?

[fatal_error]

ui, c'est ce qu'on a déjà fait au dessus avec notre nouvel x' et notre nouvel y' exprimés tous deux en fonction de x et y
Par contre si tu veux passer par la forme matricielle tu peux aussi t'en sortir :

avec
On a

On diagonalise, on obtient la matrice de passage P :

correspondant à la matrice diagonale D :

On la norme en P' :

comme P' est normée, on peut écrire
En particulier, on a
avec
On a donc

soit
(1)
avec
et
soit :
D'ou en développant (1) on a

avec

et

l'idée en passant par les matrices, c'est : on se met une matrice quadratique M, avec X^tMX
on regarde si ya un vecteur B^tX de l'équation.
Si yen a pas (le cas ici), on se démerde pour avoir une matrice diagonale, et apres on bidouille. (a coup de rotation en normant la matrice de passage).

Si ya un terme en B^tX alors on fait le changement de repère (translation) pour eliminer le terme en X

[jeje290]

Merci beaucoup ! Je crois que j'ai compris :) Je vais essayer de le refaire tout seul.
Encore un grand merci !

[Ben314]

Sinon, sans casser la baraque de fatal error qui montre bien comment ça marche en regardant tout au niveau matriciel (ce qui est à peu prés la seule chose à faire lorsque l'on est en dimension >=3 vu que les matrices du groupe orthogonal sont plus difficiles à décrire).
Perso, en dimension 2, j'écrit simplement que, si
x=cX-sY où c=cos(a)
y=sX+cY et s=sin(a)
ton équation xy=K (constante) s'écrit
(cX-sY)(sX+cY)=K c'est à dire csX²+(c²-s²)XY-csY²=K
qui est de la "bonne forme" ssi c²-s²=0, ce qui, vu que c²+s²=1, conduit à prendre par exemple c=s=racine(2)/2 (qui correspond à a=pi/4) donc cs=1/2 et l'équation est X²-Y²=2K dans le nouveau repère.

[jeje290]

J'ai essayé de le refaire en suivant mon cours mais je suis à nouveau bloqué. Je vais vous montrer ma démarche.

On pose une nouveau repère avec teta=Pi/4 : X=(racine(2)/2)(x+y) et Y=(racine(2)/2)(-x+y) donc x=(racine(2)/2)(X-Y) et y=(racine(2)/2)(X+Y)

Donc en remplaçant dans 2xy-2racine(2)x-1=0 on obtient :
2(racine(2)/2)(X-Y)(racine(2)/2)(X+Y)-2racine(2)(racine(2)/2)(X-Y)-1=0
(X-Y)(X+Y)-2(X-Y)-1=0
(X-1)²-1-(Y-1)²+1-1=0
(X-1)²-(Y²-1)²=1

Voilà je suis bloqué à partir de là je vois pas comment mettre sous la forme d'une équation d'ellipse. Mais en même temps j'ai peut être tout faux depuis le début...

[jeje290]

Je crois que j'ai réussi mais je ne trouve pas comme fatal_error, c'est bizzare.
Bref après avoir obtenue (X-1)²-(Y-1)²=1
Je fais un changement de repère par translation : X'=X-1 et Y'=Y-1
Et j'ai donc X'²-Y'²=1

[fatal_error]

re,

jte fais confiance pour le developpement.
Nos résultats diffèrent (au moins) parce que j'ai pris xy = K
et non
xy - 2sqrt(2)x = k
cad qu'on traite pas le même énoncé :marteau:

[jeje290]

Ah oui en effet, j'avais oublié de mettre un x. C'est pour ça ^^