Fonction exponetielle

par **cricrilivia** » 11 Déc 2010, 18:04

Bonjour;

A la fin d'une probleme d'etude de fonction que j'ai reussis a faire il y a une question qui me pose probleme.

f(x)=(exp(x)-1)/(exp(x)-x)

Démontrer que f(alpha)=1/(alpha-1). Sachant que alpha annule la dérivée et donc c'est un minimum local.

J'avais penser mettre exp(alpha) en facteur mais je tourne en rond.

Merci de m'aider.

par **Le_chat** » 11 Déc 2010, 18:07

Tu as dérivé ta fonction? Avec ça tu obtiendras une équation vérifiée par alpha (je ne pense pas qu'il soit simple de la résoudre, ce n'est pas le but de l'exo) te permettant de simplifier les exponentielles.

par **cricrilivia** » 11 Déc 2010, 18:14

la fonction derivee est
(exp(x)(exp(x-1))-(exp(x)-1)^2)/(exp(x)-x)^2

je ne vois pas comment simplifier les exponentielles

par **Le_chat** » 11 Déc 2010, 18:16

Avec cette expression, tu peux me dire l'équation vérifiée par alpha?

par **annick** » 11 Déc 2010, 18:22

Bonjour,

Tu ne simplifies pas, mais tu sais que f'(alpha)=0, donc tu remplaces x par alpha dans ta dérivée et tu annules.
Pour que cela s'annule, il suffit que le numérateur s'annule, ce qui te donne une équation avec des alphas.

Ensuite tu calcules f(alpha) et tu te sers de la relation précédente pour simplifier et trouver ce que l'on te demande.

par **cricrilivia** » 11 Déc 2010, 18:23

En fait dans la prmiere partie, on a etudier une fonction Phi(x)=(2-x)exp(x)-1

qui est en fait le numerateur de la fonction dérivée de f.

Avec le theoreme des valeurs intermediaires on démontre qu'il existe deux valeurs alpha et beta qui annulent Phi(x).

En fait f'(x)=((2-x)exp(x)-1)/(exp(x)-x)^2

donc f'(alpha)=((2-alpha)(exp(alpha)-1)/(exp(alpha)-alpha)^2=0

par **Le_chat** » 11 Déc 2010, 18:25

Oui, donc quelle équation vérifie alpha?? (trouve l'équation la plus simple possible)

par **cricrilivia** » 11 Déc 2010, 18:34

ok j'ai trouvé merci

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