Exercices et explications sur les bases.

[Franc49]

Bonjour,

J'ai déjà cherché un peu mais je n'ai pas trouvé
des exercices et des explications (simples et pédagogiques) sur les bases;
du genre : "écrire 453 en base 5" ...

Merci !

[Ticot]

Et bien commence par l'heure, une heure et demie n'est pas égale à 1,50 heures mais a 1,30 heures ! Ici on un système de base 60. Puis commence par la base de 2 et la 3... normalement tout le monde comprendra après la base hexadécimale avec des lettres....

[Sve@r]

Bonjour,

J'ai déjà cherché un peu mais je n'ai pas trouvé
des exercices et des explications (simples et pédagogiques) sur les bases;
du genre : "écrire 453 en base 5" ...

Merci !

Hé bien écris 453 en base 5...

[Stephanelam]

Et bien commence par l'heure, une heure et demie n'est pas égale à 1,50 heures mais a 1,30 heures ! Ici on un système de base 60. Puis commence par la base de 2 et la 3... normalement tout le monde comprendra après la base hexadécimale avec des lettres....

Ecrit comme tu l'as fait, une heure et demie vaut bien 1,50 heures.

[Franc49]

Bonjour et merci pour vos réponses ...

Vous m'avez deviné car ma réflexion vient, en effet, d'une conversion de temps.

En cherchant encore un peu j'ai trouvé cette page;
je m'étonne de ne pas l'avoir trouvée hier ! :hum: :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_%28arithm%C3%A9tique%29

J'ai compris jusqu'ici :

Le nombre cn...c2c1c0 en base b, constitué des chiffres cn, ..., c2, c1, c0, peut aussi s'écrire sous la forme cnbn + ... + c2b2 + c1b1 + c0b0, c'est-à-dire un polynôme dont les coefficients sont les chiffres et l'inconnue est la base.

Par exemple

36 en base 5 ferait 71 ( car 36 : 5 = 7 et il reste 1 )
36 unités = 3x10^1 + 6x10^0 = 7x5^1 + 1x5^0

36 en base 60 fait 0,6 (car 36 : 60 = 0,6 --> 36 min. = 0.6 heure )

1h36 = 96 minutes en base 60, cela donne 1,6 heures (bingo ! :we: je n'avais pas pensé écrire les heures en minutes !)

Essayons les secondes : "transformez en heure 7486 secondes."
7486 secondes = 124 x 60 sec + 46 sec = 124 min + 46 sec = 60x2 min + 4 min + 46 sec
= 2h 4 min 46sec

Il faut donc

1/ diviser le nombre par la base "b" en s'arrêtant au quotient entier
Dans l'exemple -> 7486 : 60 = 124,...

2/ les reste est le premier élément(?) du nombre écrit en base "b"
c'est en réalité -> reste x base^0
Dans l'exemple -> 7486 : 60 = 124,... le reste est 46 sec

3/ Si la entière (ici 124) est supérieure ou égale à la base (ici 60),
il faut à nouveau faire le 1/ en prenant pour dividende la partie entière (ici 124).
Dans l'exemple -> 124 : 60 = 2,...
Le nombre de minutes sera de 4.

Pour répondre à Sve@r

453 en base 5 ferait
453 : 5 = 90,... le reste est 3 donc le premier nombre serait 3 ( c'est en réalité 3 x 5^0 )
90 : 5 = 18 le reste est 0 donc le deuxième nombre serait 0
18 : 5 = 3,... le reste est 3
15:5 = 3

453 (en base 10) vaut en base 5 -> 3x5^3 + 3x5^2 + 0x5^1 + 3x5^0

Preuve (avec un calcul évidemment ... en base 10 ! :lol3: ):
3x5^3 = 375
3x5^2 = 75
0x5^1 = 0
3x5^0 = 3
Total = 453

Oufff

Qu'en pensez-vous ?

[Sve@r]

Pour répondre à Sve@r

453 en base 5 ferait
453 : 5 = 90,... le reste est 3 donc le premier nombre serait 3 ( c'est en réalité 3 x 5^0 )
90 : 5 = 18 le reste est 0 donc le deuxième nombre serait 0
18 : 5 = 3,... le reste est 3
15:5 = 3

453 (en base 10) vaut en base 5 -> 3x5^3 + 3x5^2 + 0x5^1 + 3x5^0

453(10)=3303(5) oui.

Preuve (avec un calcul évidemment ... en base 10 ! :lol3: ):
3x5^3 = 375
3x5^2 = 75
0x5^1 = 0
3x5^0 = 3
Total = 453

Oufff

Qu'en pensez-vous ?

Que tu viens de découvrir de façon mathématique ce que tu fais instinctivement depuis que t'as appris à compter => que 453 écrit en base 10 (la notre habituelle) signifie en fait 4 x 10^2 + 5 x 10^1 + 3 x 10^0 et que tu pouvais appliquer ce principe quelle que soit la base de travail.

Parfois je demande "convertir 1h18" en heures. Généralement, on me répond bêtement "1,18". Là, je ne dis rien mais je demande combien font 1,9h en heures-minutes et j'attends de voir si on me dit encore plus bêtement "1h90" :marteau:
Bon, toi je pense que tu sauras le faire...

Pour aller plus loin dans les bases, on peut ensuite voir des bases qui dépassent 10 comme par exemple 11, 12, ou 16 (en informatique).

Dans ce cas, le principe reste le même mais quand on tombe sur un reste qui dépasse 10, alors on l'écrit en n'utilisant qu'un seul caractère. Donc par exemple, en base 16, on aura
A pour 10
B pour 11
C pour 12
...
F pour 15

Ensuite convertir par exemple 7861 en base 16 se fera de la façon habituelle
7861 / 16 = 491, reste 5
491 / 16 = 30, reste 11 noté B
30 / 16 = 1, reste 14 noté E
1 / 16 = 0, reste 1
Et donc 7861 (10)=1EB5 (16)

Ensuite il peut y avoir des astuces liées aux puissances. Par exemple convertir 72 (9) en base 3.
La méthode de base, c'est de passer par la base 10 => 72 (9) = 7 x 9 + 2 = 65 (10) puis passer de la base 10 à la base 3 => 65 (10) = 2102 (3).
Or, si on remarque que 9 c'est 3², on peut alors utiliser ce principe pour aller plus vite.
Suffit de prendre chaque chiffre de la base 9 et les convertir en base 3 en les écrivant systématiquement sur 2 positions (2 parce que 3²)
Or 7, que ce soit en base 9 ou 10 vaut 21 en base 3
Et 2, que ce soit en base 9 ou 10 vaut 02 en base 3
D'où 72(9) = 2102(3)
Pour passer de la base 3 à la base 9, on fait l'inverse: on regroupe les chiffres 2 par 2 et on les convertis individuellement.

En informatique on fait ça couramment pour passer de la base 2 à la base 16 (on prends les chiffres 4 par 4) ou de la base 2 à la base 8 (on les prend 3 par 3)...