Marice nilpotente et matrice de passage

[Xahell]

Bonjour,

J'ai une incompréhension par rapport aux matrices que je n'arrive pas résoudre. Je viens donc vers vous pour quémander de l'aide.

Voici le problème :

Soit A, une matrice sur E de dimension 3*3. A est nilpotente à l'ordre 3 ( A^3 = 0 ).

Soit A' la matrice

(0,1,0)
(0,0,1)
(0,0,0)

qui est l'équivalent de la matrice A dans la base B = {e1, A(e1), A^2(e1)} .

Soit P la matrice de passage dont les colonnes sont les vecteurs de la base B (je pense que mon incompréhension est ici, P doit être fausse).
Soit P^(-1) la matrice inverse de P tel que P*P^(-1) = id

Pourquoi A = P*A'*P^(-1) est faux ?

Exemple appliqué :

A :

(+2,+1,+2)
(-1,-1,-1)
(-1,+0,-1)

A^2 :

(+1,+1,+1)
(+0,+0,+0)
(-1,-1,-1)

A^3 = 0

B = { (1,0,0) , (2,-1-1), (1,0,-1) }

P :

(+1,+2,+1)
(+0,-1,+0)
(+0,-1,-1)

P^(-1) :

(+1,+1,+1)
(+0,-1,+1)
(+0,+1,-1)

P*A'*P^(-1) :

(+0,-1,-2)
(+0,+1,+1)
(+0,+1,+1)

Merci d'avance pour votre temps et vos explications.
Bonne soirée !

[arnaud32]

je crois que la matrice A' que tu utilises ne represente pas bien A dans ta base B
car
A'*(1,0,0)=(0,0,0)
A'*(0,1,0)=(1,0,0)
A'*(0,0,1)=(0,1,0)

ta base est en fait B= { A^2(e1), A(e1) , e1}

[Xahell]

Bonjour Arnaud, merci pour ta réponse.

La matrice P dans la base B = { (1,0,-1), (2,-1-1), (1,0,0) } est :

(+1,+2,+1)
(+0,-1,+0)
(-1,-1,+0)

det(P) = 1*((-1*0) - (-1*0)) = 0

Son déterminant vaut 0, elle n'est pas inversible. P^(-1) n'existe pas. Je ne suis donc pas convaincu que mon erreur soit celle-ci. :lol3:

[arnaud32]

sauf que le determinant de ta matrice est -1
en developpant par rapport a la derniere colone
+1*( 0*(-1) -(-1)*(-1))=-1

[Xahell]

Tu as bien évidement raison. J'ai confondu déterminant et cofacteur au niveau des formules.

Avec ta base, A = P*A'*P^(-1), aucun problème. Merci beaucoup.

Reste à corriger la source de mon incompréhension :

Comment se fait-il que la base soit {A^2(e1) , A(e1), e1} ? Comment puis-je le voir ?

Sur les cours que je peux trouver sur internet, on donne :

A' =
(0,1,0)
(0,0,1)
(0,0,0)

B= {e1, A(e1), A^2(e1)}

Nilpotence et base réduite :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_nilpotente

[arnaud32]

tou de pend si tu travailles avec des vecteurs lignes ou colonne non?
ce qui revient a faire des multiplications a gauche ou a droite.