Valeur propre unique

[Kiwiks]

Bonjour,

J'ai un problème d'algèbre. En fait on considère une matrice M 4*4 et on nous demande de déterminer la valeur propre unique d'ordre 4. On a m'a dit qu'il faut que =Tr(M)/4 mais je ne comprends pas pourquoi. C'est peut etre une question bête mais est ce que lorsque l'on change de base, la diagonale reste toujours la même ?

Merci beaucoup de votre aide !

[Ben314]

Salut,
Non, la "diagonale" ne reste pas la même (essaye avec une matrice 2x2) quand on fait un changement de base.
Par contre, la somme des termes de la diagonale qui s'appelle la trace de la matrice reste invariante à changement de base prés.
Une des preuve les plus rapide consiste à montrer que le polynôme P(lambda)=determinant(A-lambda.In) (polynôme caractéristique) est invariant à changement de base prés puis à voir que la trace de A est (-1)^(n-1) fois le coeff. en lambda^(n-1) de ce polynôme.

Pour ton exo, il faut ensuite constater que, comme la trace est invariante à changement de base prés, si A est diagonalisable et que l'on calcule la trace sur la matrice diagonale semblable à A on obtient...

[bentaarito]

@Ben:
slt,
peut-être que j'ai mal compris, mais a-t-on det(A-aI)=det(A'-aI)???(où A' est une matrice semblable à A) :hein:

[Ben314]

@Ben:
slt,
peut-être que j'ai mal compris, mais a-t-on det(A-aI)=det(A'-aI)???(où A' est une matrice semblable à A) :hein:

Ben oui vu que A'=P^(-1).A.P tu as A'-a.In=P^(-1).(A-a.In).P et, comme le déterminant d'un produit est le produit des déterminants, tu en déduit que A'-a.In et A-a.In ont même determinant.

[benekire2]

Salut !
Pour la preuve que la trace est intrinsèque on peut montrer rapidement que tr(AB)=tr(BA) avec A,B € Mn(K) puis conclurs puisque dans une autre base , A est de la forme B=P^(-1)AP avec P la matrice de passage. [je trouve ça plus "élémentaire" ]

[Kiwiks]

J'ai bien compris ! Merci à tous !

[bentaarito]

Ben oui vu que A'=P^(-1).A.P tu as A'-a.In=P^(-1).(A-a.In).P et, comme le déterminant d'un produit est le produit des déterminants, tu en déduit que A'-a.In et A-a.In ont même determinant.

OUI, la formule est bonne, :lol3: Mais moi je pensais que le fait d'opérer sur les lignes et les colonnes mène à transformer la matrice à une autre qui lui est semblable , ce qui n'est pas le cas . D'où l'obligation de calculer det (A-aI) sans toucher à A à l'avance :marteau: