Intégrale, polynômes

[bibilolo]

Bonjour, voici un exercice que je n'arrive pas à finir et pour lequel j'aimerais bien que vous confirmiez les premiers résultats:
I=[0;pi/4]
f(x)=1/(cos x) définie sur I
On pose In la suite de réelle définie par I0=pi/4 et pour tout n appartenant à N*, In=intégrale de 0 à pi/4 de (f(x))^n dx

Partie 1:
1 Justifier que In définie pour tout n appartenant à N* et calculer I2

Sur I, cos x différent de 0 donc In définie et I2 je trouve 1

2 Déterminer a et b tels que pour tout t différent de -1 et 1, 1/(1-t^2)= a/(1-t) + b/(1+t)

Je trouve a=b=1/2

3 En posant t=sinx déterminer I1

Changement de variable et je trouve i1= racine2/2

4 Déterminer le sens de variation de In pour n appartenant à N*

Je trouve croissante en écrivant In+1-In

Est ce bon jusqu'à la?

5 montrer que pour tout n appartenant à N, nsupérieur ou égal à 2, In supérieur ou égal à intégrale de ((pi/4)-(1/n^2) à pi/4 de 1/(cos^n x )dx supérieur ou égal à (1/n^2).1/(cos^n((pi/4)-(1/n^2))

La je bloque

Partie 2:

1 Justifier que f de classe C infinie sur I, on note f^(n) la dérivée nième de f sur I.

x qui associe cos x de classe C infinie sur I et différent de 0 donc f(x) classe c infinie sur I

2 Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un polynome Pn tel que: pour tout x appartenant à I, f^(n)(x)=Pn(sin x)/cos^(n+1)(x)

Par récurrence? je sais pas trop comment la faire?

3 Déterminer P1 et P2

je n'y arrive pas... pouvez vous m'expliquer?

4 montrer que pour tout n appartenant à n*,Pn+1=(1-X²)P'n + (n+1)X.Pn. En déduire P3

Sans doute encore par récurrence? Pour P3 suffit de remplacer mais comme je ne trouve pas P2...

5 Déterminer pour tout entier naturel n le degré et coefficient dominant du polynome Pn

Je ne peux pas le faire sans les questions précédentes


Voila je bloque sur toute la partie polynome et j'aimerais que vous me confirmiez le début

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
C'est bon sauf I1 : tu doit forcément avoir des ln(?) dans ton résultat (primitives de 1/(1+t) et 1/(1-t)). Tu devrait trouver aprés simplifications I1=ln(1+racine(2)).

Pour le 5), c'est évident : pour la première inégalité, c'est Chasles :
Si a=int(f,b,c) si f est positive.
Pour la deuxième, c'est la minoration la plus con-con (et la plus fréquente) qui soit pour les intégrales :
Si a=(b-a)x(valeur min de la fonction)

Pour le II) :

2) effectivement, c'est une récurence (assez simple) et tu doit même trouver comment s'écrit le polynôme P_{n+1} en fonction de P_n.

3) Pour P_1, deux méthodes :
- Soit tu commence par évaluer P0, {ce qui est trivial vu qu'il doit vérifier 1/cos(x)=P0(sin(x))/cos(x), c'est que P0(X)=1} puis tu aplique ce que tu as trouvé au 2) pour trouver P1
- Soit tu calcule f' et tu obtient P1 en écrivant que l'on doit avoir f'(x)=P1(sin(x))/cos(x),
Idem pour P2 (soit la formule, soit tu dérive f' pour trouver f")
A mon avis, l'idéal c'est de faire les deux pour vérifier que ta formule du 2) est bonne.

4) Normalement, c'est la formule que tu as obtenu au 2)

5) Il suffit d'analyser la formule du 4) (et de regarder les 3 premiers termes pour "se faire une idée)

[bibilolo]

ok merci j'ai réussi la partie I sauf la limite faut que je travaille sur la partie de droite.