Limite fonction exp

[manu1352]

Je n'arrive pas a calculer la limite quand x tend vers plus l'infinie de :

f(x)= exp(x) / x

[Sylviel]

c'est une limite de ton cours.

[manu1352]

Je sais que :

lim exp(x) / x= + (infinie)
x->+ (infinie)

mais je n'arrive pas à le démontrer

[Sylviel]

J'avoue que je ne trouve pas de démonstration élémentaire...

la plus simple à laquelle je pense :
- montrer que e^x/x est croissante à partir d'un certain moment (dérivation)
- raisonner par absurde : si f ne tends pas vers +oo f tends vers L.
- soit X tel que f(X) soit proche de L, on peux montrer que f(X+1) > L, ce qui est impossible.

reste à le formaliser.

Pourquoi veux-tu cette démo ?

[ft73]

exp(x)>x déjà (preuve par étude de exp(x)-x)
ensuite exp(x)=exp(x/2)^2>? etc...

[Sylviel]

:mur: :mur: :mur:
Bon d'accord, je me sens humilié là... C'est à dire que c'est tellement évident avec la "vraie" définition de l'exponentielle...

[Jimm15]

Bonsoir,

Il faut se servir du fait que .

[ft73]

non exp(x)>x (qui est bien exact :lol3: ) suffit et est plus simple

[Sylviel]

D'ailleurs ni l'un ni l'autre n'est suffisant pour conclure...

[Jimm15]

Ah bon ?

Démontrons que .



D’après le théorème des gendarmes, comme ,
.

[Sylviel]

Oui d'accord, mais tu ne te contentes pas du fait que e^x > x... Ce que je voulais souligner c'est que si f(x)>x alors tu ne peux (presque) rien dire de lim f(x)/x...

[Jimm15]

Oui d'accord, mais tu ne te contentes pas du fait que e^x > x... Ce que je voulais souligner c'est que si f(x)>x alors tu ne peux (presque) rien dire de lim f(x)/x...

Cela, je n’en sais rien. J’ai simplement repris la démonstration de mon cours...

[Sylviel]

Et bien je te donnes des exemples et te laisse calculer les limites f(x)/x

f(x) = x+1
f(x) = 2x
f(x) = x*g(x) où g(x) = x si x est entier, 1 sinon...

Donc si f>g tu ne peux pas conclure que lim f/g = +oo. Là on utilise une propriété de l'exponentielle pour grosso modo dire que "e^x > x²", ce qui permet de conclure...

P.S : le "théorème des gendarmes" est un nom folklo, mais quand on veux faire sérieux on dit "théorème de comparaison des limites".

[manu1352]

Merci pour vos réponses j'y vois un peu plus claire =) .

[Nightmare]

Salut,

pour Sylviel > J'aurais fait ainsi :

,

puis

d'où

[belgacem]

Hello
Voici une piste posons : exp(x) / x =t
et puis calculez lim ( ln(t)) quand x->+ (infinie) en déduire.......

[Ben314]

Salut,
Il me semble que, comme d'habitude, vouloir donner une preuve du fait que e^x/x tend vers l'infini sans avoir précisé quelle définition on a de la fonction exponentielle, c'est forcément pas bien clair...

Il me semble avoir entendu dire que, actuellement, la définition la plus fréquement choisie au Lycée est de dire que exp est la solution du problème de Cauchy : f'=f et f(0)=1.
A mon avis, ça incite fortement à ne pas utiliser le logarithme dans la preuve et plutôt à procéder comme le fait Jimm15.

[Nightmare]

, la définition la plus fréquement choisie au Lycée est de dire que exp est la solution du problème de Cauchy : f'=f et f(0)=1.

Hum ça, j'en suis pas certain ! Mon élève de terminale (bon en ES certes) a vu le log d'abord puis l'exp comme sa réciproque, il n'a pas vue les équations différentielle encore. C'est aussi comme ça qu'ils m'ont été enseigné. Bon par contre, moi même je préfère l'approche par les équadiff.

[Ben314]

Hum ça, j'en suis pas certain ! Mon élève de terminale (bon en ES certes) a vu le log d'abord puis l'exp comme sa réciproque, il n'a pas vue les équations différentielle encore. C'est aussi comme ça qu'ils m'ont été enseigné. Bon par contre, moi même je préfère l'approche par les équadiff.

Ca signifie que (ce que je ne critique absolument pas), certains prof ne suivent pas à la lettre le programme officielde terminale S (page 66) :zen:

Mais j'avais bien mis dans mon post "...la définition la plus fréquement choisie... " :lol3:

Sinon, perso, je préfère (de loin) la définition par les primtives du fait que le théorème de Cauchy-Lipchitz (en particulier la partie concernant l'intervalle maximal des solutions) me parrait quand même nettement plus compliqué que celui donnant l'existance de primitives à toute fonction continue.
Donc je fait parti de ceux qui, si j'enseignait en terminale,... ne respecteraient sans doute pas le programme...

Edit : c'est marrant, dans le programme officielde terminale ES (page 58) on laisse le choix de la présentation alors que ça ne semble pas le cas en term. S.

[sad13]

d'où la véracité de l'affirmation de l'élève de night mare.

En gros pour les S c'est la solution de l'équa diff f'=f et f(0)=1 et en ES , y a le libre choix même si c'est plus orienté vers la réciproque du log étant donné que c'est traité avant sauf que je ne sais pas si la notion de fonctions réciproques est au programme?

Merci de me le confirmer