Continuité de la limite

[simplet]

Bonjour,
alors on a une suite (fk) qui tend vers une fonction f.
Suffit il que les fk soient continues pour que f soit continue?? (peut etre faut il comme je le pense une convergence uniforme)
Vous savez où je pourrais trouver une démonstration?? mercii

[Amine.MASS]

bonjour Simplet:
la condition que fk soit continu qlq soit k est suffisante pour que f soit continu mais elle n'est pas nécessaire:en effet(démo d la suffisance):

soit a dans Df:
soit £>0:
il existe k tq qlq soit n>=k |fn-f|<£/3
puisque fk est continu alors:
il existe µ>0 tq qlq soit x ds Df si |x-a|<µ alors |fk(x)-fk(a)|<£/3
dans c cas on a: qlq soit x ds Df si |x-a|<µ alors :
|f(x)-f(a)|<|fk(x)-f(x)|+|fk(x)-fk(a)|+|fk(a)-f(a)|
<£/3+£/3+£/3=£
d'ou f est continu en a et ceci qlq soit a ds Df
et je donne un contre exemple pour la necessité:
qlq soit k on définit fk(x)=(1/2)^k*[x]
on a les fk ne sont pas continu alors que f=lim(fk) (on a f(x)=0) est continu
allez bonne chance :++:

[lasaid]

Salut un ami a repondu sur ta question sur un autre forum par dire ( jai fait des ptits recherches sur d'autre sites pour trouver une demonstration ) :
en fait cela ne suffit pas
Contre exemple classique :
pour tout x de [0;1], fk(x) = x^k
(fk) est une suite de fonctions continues sur [0;1] qui converge simplement sur [0;1] vers la fonction f définie par :
f(1) = 1 et pour x dans [0;1[ f(x) = 0
Donc f n'est pas continue sur [0;1]

[abcd22]

Bonjour, je trouve que tu n'es pas très clair au début Amine.MASS, pour avoir la continuité de la limite, la continuité des fk et la convergence uniforme sont des conditions suffisantes (tu n'as pas parlé de convergence uniforme dans ton message mais tu l'as supposée dans la démonstration, au moins au voisinage de a). En fait pour avoir continuité de la limite, la continuité des et la convergence uniforme locale suffisent (car la continuité est une propriété locale), mais elles ne sont pas nécessaires.

[Amine.MASS]

j'ai oublié d dire que pour le cas d'une convergence simple,la prop n'est pas vraie :l'exemple classique est:fn(x)=x^n pour x ds[0;1] on a : si limit(fn)=f alors

f(x)=0 qlq soit x ds [0;1]\{1} et f(1)=1
dc f n'est pas continu méme si fn sont continu qlq soit n

[Amine.MASS]

je vien de lire ton msg abcd22,tu as raison .dsl